三角形の相似条件 ── 3つの条件と相似の証明｜中3数学

図でつかむ

図1：相似条件は「角」または「辺の比」で形が決まる条件

この図は、式や定理を読む前に全体像をつかむための補助図です。問題を解くときも、まず同じような簡単な図を自分で描いてから条件を書き込むと、見落としが減ります。

三角形の相似条件3つ

公式

三角形の相似条件

① 3組の辺の比がすべて等しい（3辺比）

② 2組の辺の比とその間の角が等しい（2辺比挟角）

③ 2組の角がそれぞれ等しい（2角）

① 3辺比 ── すべての辺の比が同じ

例1

△ABC：AB=3, BC=4, CA=5

△DEF：DE=6, EF=8, FD=10

AB:DE = BC:EF = CA:FD = 1:2 → 相似

② 2辺比挟角

例2

△ABC で AB=4, BC=6, ∠B = 60°

△DEF で DE=6, EF=9, ∠E = 60°

AB:DE = 4:6 = 2:3、BC:EF = 6:9 = 2:3、挟む角 ∠B = ∠E = 60°

→ 相似

③ 2角 ── 一番よく使う

三角形の 2つの角が等しければ、残りの1つも等しい（内角の和 180°）。だから 2角の一致だけで相似が決まる。証明問題で圧倒的によく使う条件。

例3

△ABC で ∠A=50°, ∠B=70°

△DEF で ∠D=50°, ∠E=70°

2組の角が等しい → 相似

相似の証明 ── 基本フォーマット

合同の証明と同じ書き方で、最後だけ 「相似」に置き換える。

証明の標準フォーマット

△ABC と △DEF において、

仮定または条件 → 等しい角や比を示す

①、② より、2組の角がそれぞれ等しい

よって △ABC ∽ △DEF

相似の証明例

例4：共通角を使った相似

△ABC の辺 BC 上の点 D を取り、△ABD ∽ △ACB であることを示す（条件付き）。

条件：∠ADB = ∠ACB のとき

[証明]

△ABD と △ACB において、

①　∠ADB = ∠ACB（仮定）

②　∠ABD = ∠ABC（D は BC 上にあるので、BD と BC が同じ直線上）

①、②より、2組の角がそれぞれ等しい

よって △ABD ∽ △ACB

例5：平行線を使った相似

△ABC で BC ∥ DE のとき △ADE ∽ △ABC

[証明]

△ADE と △ABC において、

①　∠ADE = ∠ABC（平行線の同位角）

②　∠A は共通

①、②より △ADE ∽ △ABC

合同と相似の証明、何が違う？

	合同	相似
辺	等しい	比が等しい
角	等しい	等しい（同じ）
条件の使い分け	SSS, SAS, ASA	3辺比、2辺比挟角、2角

相似を見つけるためのチェックリスト

2角を見つけるヒント

① 共通角：同じ頂点を共有する角

② 対頂角：交差した2直線で向かい合う角

③ 平行線の同位角・錯角：平行線と1本の直線

④ 直角：2つとも直角なら90°が等しい

⑤ 円周角：同じ弧の円周角は等しい

⑥ 仮定で与えられた角：問題文の条件

頻出パターン：相似な三角形のペア

三角形と平行線：△ADE ∽ △ABC（DE ∥ BC のとき）
直角三角形の高さ：△ACH ∽ △ABC ∽ △CBH（垂線で3つの相似）
X字型：2弦の交点で △PAC ∽ △PDB
砂時計型：上下対称な相似ペア
円周角型：弦の交点や接弦角での相似

直角三角形の3つの相似

直角三角形 ABC（∠C=90°）の高さ CH

頂点 C から斜辺 AB に下ろした垂線の足を H とする

→ △ABC ∽ △ACH ∽ △CBH（3つすべてが相似）

→ CH² = AH × HB（高さの二乗 = 分けた線の積）

→ AC² = AH × AB、BC² = BH × AB

→ 三平方の定理の証明にも使える重要パターン

つまずきポイント①：「2角」が定番

相似の証明で 9 割は 「2組の角がそれぞれ等しい」で押す。
共通角、平行線の同位角・錯角、対頂角、二等辺三角形の底角などをフル活用。
合同で慣れた書き方そのままで、最後を ∽ にすればOK。

つまずきポイント②：対応する辺と角の確認

「△ABC ∽ △DEF」と書いたら、A と D、B と E、C と F が対応
順序を間違えると、辺の比が違ってしまう
対応する角に印をつけて、辺と角を確認しながら証明する

つまずきポイント③：合同との違い

合同：すべての辺と角が等しい（重ねるとピッタリ）
相似：形が同じで大きさが違う（拡大縮小）
合同は相似の特殊な場合（比 1:1）

練習問題

問題1（条件の見分け）

次の三角形は相似か。相似ならば理由を1つ挙げよ。

△ABC：AB=4, BC=6, CA=8。△DEF：DE=6, EF=9, FD=12
△ABC で ∠A=70°、∠B=50°。△DEF で ∠D=70°、∠E=50°
△ABC で AB=5, AC=7, ∠A=60°。△DEF で DE=10, DF=14, ∠D=60°

答えを見る

(1) 4:6 = 6:9 = 8:12 = 2:3 → 3辺比、相似

(2) ∠A = ∠D、∠B = ∠E → 2角、相似

(3) AB:DE = AC:DF = 5:10 = 7:14 = 1:2、挟む角 ∠A = ∠D → 2辺比挟角、相似

問題2（相似の証明）

△ABC で、∠ACB = 90° の直角三角形がある。C から AB に下ろした垂線の足を H とする。△ACH ∽ △ABC を示せ。