図でつかむ
この図は、式や定理を読む前に全体像をつかむための補助図です。問題を解くときも、まず同じような簡単な図を自分で描いてから条件を書き込むと、見落としが減ります。
三角形の中の平行線の定理
DE ∥ BC ⇔ AD:DB = AE:EC（または AD:AB = AE:AC = DE:BC）
DE ∥ BC なら、△ADE ∽ △ABC（2角：同位角と共通角）
相似 → 対応する辺の比が等しい
→ AD:AB = AE:AC = DE:BC
2 種類の比 ── どちらでも同じ事実
- AD:AB = AE:AC（小さな△と大きな△の比）
- AD:DB = AE:EC（同じ辺上の上下の比）
- どちらでも結論は同じ。問題によって使いやすい方を選ぶ。
例題で確認
AD:DB = AE:EC → 4:6 = 6:EC
4·EC = 36 → EC = 9
AD:AB = DE:BC → 3:8 = DE:10
8·DE = 30 → DE = 15/4
逆も成り立つ ── 比が等しい → 平行
「AD:DB = AE:EC ならば DE ∥ BC」も成り立つ。証明問題で「平行であることを示せ」と言われたら、この逆を使う。
AD:DB = 4:6 = 2:3、AE:EC = 6:9 = 2:3
比が等しい → DE ∥ BC
3本の平行線と線分の比
ℓ ──A──D── ← 平行線
m ──B──E──
n ──C──F──
AB:BC = DE:EF が成り立つ。
AB=3, BC=5, DE=6 → EF は？
3:5 = 6:EF → 3·EF = 30 → EF = 10
中点と平行 ── 中点連結定理（次回詳細）
三角形の2辺の中点を結ぶ線分は、もう1辺と 平行で長さが半分。これも平行線と線分の比の特殊な場合。
平行線と比の応用問題
台形 ABCD（AD ∥ BC）の対角線 BD、AC 上に交点 P を考える
対角線の交点で、△APD ∽ △CPB（2角の相似）
→ AP:PC = DP:PB = AD:BC
→ 台形の問題は 相似な三角形を見つけるのがコツ
等積変形と比
- 三角形を 底辺を共通にして頂点を平行線上で動かすと面積は不変
- 「面積が等しい三角形を作れ」と言われたら、底辺と頂点の関係を見る
- 2つの三角形が底辺を共有 → 高さの比で面積比
- 2つの三角形が高さを共有 → 底辺の比で面積比
面積比と長さの比の関係
辺の比 a:b → 面積比 a²:b²
辺の比 a:b → 体積比 a³:b³
例：相似な三角形で辺の比 2:3 → 面積比 4:9
例：相似な立方体で辺の比 1:2 → 体積比 1:8
- AD:DB（同じ辺の上下）と AD:AB（全体と部分）は別物。
- DE と BC の比は 「全体と部分」の比 AD:AB と等しい。
- 図にどの比を使うか、書き込みながら解く。
- 「平行ならば比が等しい」（順）
- 「比が等しいならば平行」（逆）
- 両方とも成り立つ（必要十分条件）
- 証明問題では問われた方向で使う
- 3本以上の平行線でも同じ性質が成り立つ
- 左の直線で切られた比 = 右の直線で切られた比
- 平行線が 3本以上でも、各「区間の比」が等しい
- 4本5本でも同様
練習問題
△ABC で DE ∥ BC、AD=5, DB=10, AE=4 のとき EC を求めよ。
答えを見る
5:10 = 4:EC → 5·EC = 40 → EC = 8
△ABC で DE ∥ BC、AB=12, AD=4, BC=15 のとき DE は。
答えを見る
AD:AB = DE:BC → 4:12 = DE:15 → DE = 5
△ABC で、AD=6, DB=4, AE=9, EC=6。DE と BC は平行か。
答えを見る
AD:DB = 6:4 = 3:2、AE:EC = 9:6 = 3:2 → 比が等しい → 平行
3本の平行線 ℓ ∥ m ∥ n を2本の直線が切る。一方で AB=4, BC=6、もう一方で DE=6 のとき EF。
答えを見る
4:6 = 6:EF → EF = 9
まとめ
- 三角形の中に底辺と平行な線：AD:DB = AE:EC または AD:AB = DE:BC。
- 逆も成り立つ：比が等しい → 平行。
- 3本の平行線：左の比 = 右の比。
- 問題では 「同じ辺の上下」と 「全体と部分」のどちらの比かを意識。