図でつかむ
中点連結定理は「中点」「平行」「半分」がセットです。問題文で2辺の中点が出たら、図に MN ∥ BC と MN = 1/2BC をすぐ書き込むと使いどころを見落としにくくなります。
中点連結定理
MN ∥ BC かつ MN = (1/2)BC
△AMN と △ABC において、
AM:AB = AN:AC = 1:2（中点だから）
∠A は共通
→ 2辺比挟角で △AMN ∽ △ABC、相似比 1:2
→ MN:BC = 1:2 → MN = (1/2)BC
また、対応する角が等しいので ∠AMN = ∠ABC（同位角）→ MN ∥ BC
具体例
MN = (1/2) × 10 = 5cm
MN ∥ BC
BC = 2 × 6 = 12cm
逆の定理
△ABC で、辺 AB の中点 M から BC に平行な直線が AC を点 N で交わるなら、N は AC の中点。
四角形への応用 ── 各辺の中点を結ぶ
四角形 ABCD で、辺 AB, BC, CD, DA の中点をそれぞれ P, Q, R, S とすると、PQRS は平行四辺形になる。
理由：対角線 AC に着目し、△ABC と △ACD で中点連結定理を使う。
PQ ∥ AC、PQ = (1/2)AC
SR ∥ AC、SR = (1/2)AC
→ PQ ∥ SR で長さも等しい → 平行四辺形（一辺平行かつ等しい）
例題：中点連結定理の応用
中線（各頂点と対辺の中点を結ぶ）3本は 1点で交わる。これを重心という。
重心は中線を 2:1 に内分する。
四角形 ABCD の AB の中点 P、CD の中点 R、AC の中点 Q を結ぶと、PQ ∥ BC かつ PQ = (1/2)BC、QR ∥ AD かつ QR = (1/2)AD。
重心と中線
三角形の 3本の中線（各頂点と対辺の中点を結ぶ）は 1点で交わる
この交点を 重心という
重心は中線を 2:1に内分する（頂点から2、底辺中点から1）
重心は三角形の 面積を3等分する
物理的に三角形の重さの中心
- 中点連結定理は 「平行」+「半分」の2つの結論を同時に与える
- 問題で「MN ∥ BC を示せ」「MN = (1/2)BC を示せ」のどちらでも、中点連結定理の名前を出して言える
- 四角形の問題では 「対角線を引いて2つの三角形に分ける」のが定石
- どんな四角形でも、各辺の中点を結ぶと 必ず平行四辺形
- 元の四角形が長方形なら、中点四角形はひし形
- 元の四角形がひし形なら、中点四角形は長方形
- 元の四角形が正方形なら、中点四角形も正方形
- 定理：2辺の中点を結ぶ → 残り辺と平行・半分
- 逆：1辺の中点を通る平行線 → 残り辺の中点を通る
- 問題で「逆」を使う場面に注意
練習問題
△ABC で AB = 12, AC = 10, BC = 14。M, N が AB, AC の中点のとき MN の長さは。
答えを見る
MN = (1/2)BC = 7
△ABC で、AB の中点を M、M を通り BC に平行な直線が AC と交わる点を N とする。AN = 5 のとき AC の長さは。
答えを見る
N は AC の中点だから AC = 2·AN = 10
四角形 ABCD で、AB, BC, CD, DA の中点をそれぞれ P, Q, R, S とする。AC = 10, BD = 6 のとき、四角形 PQRS の周の長さは。
答えを見る
PQ = SR = (1/2)AC = 5、QR = PS = (1/2)BD = 3
周 = 2(5 + 3) = 16
台形と中点連結定理
台形 ABCD（AD ∥ BC）の AB, DC の中点 P, Q を結ぶと、
PQ ∥ AD ∥ BC
PQ = (1/2)(AD + BC)（上底と下底の平均）
→ 台形の中央線（中位線）
→ 三角形の中点連結定理を応用したパターン
三角形の5心
- 重心：3つの中線の交点（中線を2:1に内分）
- 外心：3辺の垂直二等分線の交点（外接円の中心）
- 内心：3つの角の二等分線の交点（内接円の中心）
- 垂心：3つの垂線の交点
- 傍心：外接円の外側にある内接円の中心
- 中学では 重心と 外心・内心を学ぶ
まとめ
- 中点連結定理：2辺の中点を結ぶ線分は、残りの辺と平行で、長さは半分。
- 逆も成り立つ：1辺の中点を通り他の1辺に平行な線は、残りの辺の中点を通る。
- 四角形の各辺の中点を結ぶと 必ず平行四辺形。
- 四角形の問題では 対角線で2つの三角形に分けるのが定石。
- 重心は中線を 2:1 に内分する。
- 台形の中央線：上底と下底の平均（PQ = (1/2)(AD+BC)）。