図でつかむ
この図は、式や定理を読む前に全体像をつかむための補助図です。問題を解くときも、まず同じような簡単な図を自分で描いてから条件を書き込むと、見落としが減ります。
相似比・面積比・体積比のルール
相似比 m:n ならば、
① 面積比は m²:n²（2乗の比）
② 体積比は m³:n³（3乗の比）
① 面積比 ── 相似比の2乗
相似比 3:5
面積：9 cm² と 25 cm²
面積比 9:25 = 3²:5² ◯
面積比 = 2²:3² = 4:9
小さい方の面積が 12 なら、大きい方は 12·(9/4) = 27
② 体積比 ── 相似比の3乗
相似比 2:5
体積：8 cm³ と 125 cm³
体積比 8:125 = 2³:5³ ◯
体積比 = 1³:3³ = 1:27
小さい方の体積が 100 mL なら、大きい方は 2700 mL
なぜ2乗・3乗？
面積 = 縦 × 横 → 2方向の長さが m:n 倍になるから、面積は m²:n²。
体積 = 縦 × 横 × 高さ → 3方向すべての長さが m:n 倍になるから、体積は m³:n³。
これは正方形や立方体だけでなく、どんな形の相似な図形でも成立する。
応用：面積から相似比を求める
16:25 = 4²:5² → 相似比 4:5
27:125 = 3³:5³ → 相似比 3:5
地図の縮尺
地図の縮尺 1:50000 とは「実際の長さの 50000 分の 1 で描かれている」という意味。面積で見ると、2乗の関係になる。
実際の面積 = 4 × 50000² = 4 × 2,500,000,000 cm² = 10,000,000,000 cm² = 1,000,000 m² = 1 km²
表面積と相似比
表面積は「面の積」なので、面積比と同じ 2乗の関係
相似比 m:n → 表面積比 m²:n²
例：相似比 2:3 の立体 → 表面積比 4:9、体積比 8:27
→ 表面積と面積はどちらも「平面」なので2乗
→ 体積だけが「立体」なので3乗
身近な相似比の例
- 同じデザインの大小コップ：相似比 2:3 → 容量 8:27（3倍以上の差！）
- 同じ形のピザM・L：直径25cm vs 35cm → 面積比 625:1225 ≒ 1:2
- 子どもと大人の身長：100cm vs 170cm → 体積（体重）比 約 1:5
- 地図の縮尺：1:50000 → 面積比 1:25億
相似比の応用：影の問題
同じ時刻なら、太陽の角度は同じ → 物体と影の比は一定
→ 身長と影の長さが分かれば、塔や木の高さも計算できる
例：身長150cm の人の影が 75cm → 比 2:1
→ 影が10mの木 → 木の高さは20m
古代エジプトのピラミッドの高さもこの方法で測られた
立体図形の相似
円錐を高さの中点で水平に切ると、上半分は小さな円錐、下半分は円錐台
上半分と元の円錐の相似比 1:2
→ 体積比 1:8
→ 円錐台（下半分）は元 − 上 = 8 − 1 = 7（体積比）
→ 上：下 = 1:7
- 「相似比 2:3 だから、面積比も 2:3」と書きがち。面積は 4:9、体積は 8:27。
- 「相似比 → 平方 → 立方」と頭にインストール。
- 面積比から逆算するときは √を取る。例：面積比 9:16 → 相似比 3:4。
- 縮尺 1:50000 は 長さの比
- 面積で見ると 1²:50000² = 1:25億
- 地図上1cm² = 実際の0.25km²（50000cm × 50000cm）
- 長さと面積の関係を間違えないこと
- 体積比 8:27 → 相似比は √³8:√³27 = 2:3
- 「立方根」を使う
- 1, 8, 27, 64, 125, 216 = 1³, 2³, 3³, 4³, 5³, 6³ を覚えておく
練習問題
相似比 3:5 の2つの相似な三角形。小さい方の面積が 18cm² のとき、大きい方の面積は。
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面積比 = 9:25。大きい方 = 18·(25/9) = 50cm²
相似比 2:5 の相似な立体。大きい方の体積が 250 のとき、小さい方の体積は。
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体積比 = 8:125。小さい方 = 250·(8/125) = 16
- 面積比 49:81 → 相似比
- 体積比 64:125 → 相似比
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(1) 7:9（49=7², 81=9²） (2) 4:5（64=4³, 125=5³）
縮尺 1:25000 の地図上で長方形の土地が縦 2cm × 横 3cm に描かれている。実際の面積は何 m² か。
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面積比 1:25000² = 1:625,000,000。地図上の面積 = 6cm²。実際 = 6 × 625,000,000 cm² = 3,750,000,000 cm² = 375,000 m²
まとめ
- 相似比 m:n → 面積比 m²:n²、体積比 m³:n³。
- 面積から逆算 → 比を 平方根で。
- 体積から逆算 → 比を 立方根で。
- 地図の縮尺問題では、面積は 縮尺の2乗に注意。