復習のポイント
- 相似：形が同じだが大きさが違う図形（記号 ∽）
- 相似条件：3組の辺の比／2組の辺と挟む角／2組の角
- 相似比：対応する辺の長さの比（同じ）
- 平行線と線分の比：平行線で切ると比が一定
- 中点連結定理：MN ∥ BC かつ MN = BC/2
- 面積比 = 相似比²、体積比 = 相似比³
相似問題の解き始め
- まず対応する頂点の順番をそろえる。相似記号の順番は、辺の比を作る設計図になる。
- 三角形の相似条件は、3辺の比、2辺の比とその間の角、2組の角の3つ。
- 平行線がある図では、同位角・錯角から相似を見つける。
- 面積比は相似比の2乗、体積比は相似比の3乗。長さの比のまま答えない。
対応する辺の比は2:3、面積比は4:9、体積比は8:27。
- 1辺 4 と 6 の正方形の相似比
- 3辺 6, 8, 10 と 3辺 9, 12, 15 の三角形は相似か
- △ABC ∽ △DEF、AB=4, DE=6 → 相似比
- △ABC ∽ △PQR、∠A=70°, ∠B=60° → ∠R
- 相似比 2:5、AB=8 → 対応する DE
- 3辺 3, 4, 5 と 3辺 9, 12, 15 は相似か（相似比）
- △ABC ∽ △DEF、BC=6, EF=10 → 相似比
- 相似比 1:3 の三角形の周の比
- 正三角形と正三角形は常に相似か
- 長方形 2×3 と長方形 4×7 は相似か
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(1) 4:6 = 2:3 (2) すべて 2:3 → 相似
(3) 4:6 = 2:3 (4) ∠C = 180−70−60 = 50°、R は C に対応 → 50°
(5) 8:DE = 2:5 → DE = 20 (6) 1:3 → 相似
(7) 6:10 = 3:5 (8) 1:3（線比そのまま）
(9) はい (10) 2/3 ≠ 4/7 → 相似ではない
- 三角形の相似条件3つ
- △ABC と △DEF で AB:DE=BC:EF=CA:FD なら？
- 2角が等しい三角形は
- 2辺の比と挟む角が等しい三角形は
- 2つの正三角形は常に
- 2つの正方形は常に
- 2つの長方形は
- △ABC で BC 上の点 D、∠BAD=∠BCA → 何が相似
- 直角三角形の斜辺と1つの鋭角が等しい → 何が等しい
- 合同と相似の違い
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(1) ① 3組の辺の比が等しい ② 2組の辺の比と挟む角 ③ 2組の角
(2) 相似（3辺の比） (3) 相似（2組の角）
(4) 相似 (5)(6) 相似 (7) 縦横比次第（一概に言えない）
(8) △ABD ∽ △CBA（共通角 B + 仮定）
(9) 合同（中3レベル） (10) 合同：形も大きさも同じ／相似：形が同じ大きさ違う
- △ABC で DE ∥ BC、AD=4, DB=6, AE=8 → EC
- 同じ条件で BC=20 → DE
- AD:DB = 3:5、AE:EC = 3:5 → DE と BC は
- 3本の平行線で AB=5, BC=8、向こうで DE=10 → EF
- △ABC で M, N が AB, AC の中点、BC=14 → MN
- △ABC で M, N が中点、MN=6 → BC
- 四角形の4辺の中点を結ぶと？
- 四角形で対角線 AC=12, BD=8 → 中点四角形の周
- △ABC、AD=2, AB=6、AE=3, AC=9。DE ∥ BC か
- 三角形の重心は中線をどう分けるか
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(1) 4:6 = 8:EC → EC = 12 (2) 4:10 = DE:20 → DE = 8
(3) 比が等しい → 平行 (4) 5:8 = 10:EF → EF = 16
(5) 7 (6) 12 (7) 平行四辺形
(8) PQ = SR = 6（=AC/2）、QR = PS = 4（=BD/2）、周 = 20
(9) AD:AB = 1:3、AE:AC = 1:3 → 等しい → 平行
(10) 重心から頂点までと中点までの比は 2:1
- 相似比 2:3 → 面積比
- 相似比 1:4 → 体積比
- 面積比 25:64 → 相似比
- 体積比 27:64 → 相似比
- 相似な三角形、相似比 3:5、小さい方の面積 18 → 大きい方
- 相似な立体、相似比 2:3、小さい方の体積 16 → 大きい方
- 地図縮尺 1:10000 の上で 5cm²、実際の面積（m²）
- △ABC ∽ △DEF、相似比 2:3、△ABC の周 24 → △DEF の周
- 1辺xcmの正三角形と1辺2xcm の正三角形の面積比
- 大円と小円の半径比が3:2、面積比は
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(1) 4:9 (2) 1:64 (3) 5:8 (4) 3:4
(5) 18·(25/9) = 50 (6) 16·(27/8) = 54
(7) 5·10000²cm² = 50,000 m²
(8) 24·(3/2) = 36 (9) 1:4 (10) 9:4
- △ABC ∽ △PQR、相似比 2:3、AB=4 → PQ
- 木の影の長さで木の高さを測る。1m の棒の影が0.5m、木の影が10m → 木の高さ
- 1辺 a の立方体と 1辺 2a の立方体の体積比
- 地図縮尺 1:25000、地図上 4cm の実距離（km）
- 相似な2つの三角形の面積比 16:25、周の比
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(1) PQ = 6 (2) 高さ:影 = 1:0.5 = 2:1、木 = 10×2 = 20m
(3) 1:8 (4) 4 × 25000 = 100000cm = 1km
(5) √16 : √25 = 4:5
テスト前のチェックリスト
- □ 相似条件3つ（3辺の比、2辺と挟む角、2角）
- □ 相似比 = 対応する辺の比
- □ 周の比 = 相似比
- □ 面積比 = 相似比²
- □ 体積比 = 相似比³
- □ 平行線と線分の比（DE∥BC で AD:DB = AE:EC）
- □ 中点連結定理：MN = BC/2、MN ∥ BC
- □ 縮尺：地図と実際の長さ・面積の比
- 対応の順：△ABC ∽ △DEF なら A↔D、B↔E、C↔F
- 面積比は相似比の2乗（線形 → 2次元）
- 体積比は相似比の3乗（線形 → 3次元）
- 共通角は相似の証明でよく使う
相似の重要ポイント整理
① 3組の辺の比がすべて等しい（SSS）
② 2組の辺の比とその挟む角が等しい（SAS）
③ 2組の角がそれぞれ等しい（AA）── 最も頻出
→ 入試の証明問題ではほとんど「2角」を使う
相似と各種図形の関係
- 三角形の中の平行線：DE ∥ BC → △ADE ∽ △ABC
- 直角三角形の高さ：△ABC ∽ △ACH ∽ △CBH（3つの相似）
- 円周角：同じ弧の円周角は等しい → 2角で相似
- 方べきの定理：弦の交点で相似 → PA·PB = PC·PD