図でつかむ
この図は、式や定理を読む前に全体像をつかむための補助図です。問題を解くときも、まず同じような簡単な図を自分で描いてから条件を書き込むと、見落としが減ります。
円周角と中心角
中心角：円の中心から弧 AB を見たときの角 ∠AOB。
円周角：円周上の点 P から弧 AB を見たときの角 ∠APB。
円周角の定理
すなわち ∠APB = (1/2)∠AOB。
∠AOB = 80°（中心角）
→ ∠APB = 40°（円周角）
円周角 ∠APB = 35°
→ 中心角 ∠AOB = 70°
同じ弧の円周角はすべて等しい
円周上に P, Q がある。弧 AB に対して
∠APB = ∠AQB
（同じ中心角 ∠AOB の半分どうしだから）
半円の円周角は 90°
直径に対する弧の中心角は 180°（半円分）。
円周角 = 180°/2 = 90°
→ 直径を底辺とする三角形 APB の点 P での角は 直角。
円周角の使い方 ── 角の計算
弧 AB の中心角 110° のとき、弧 AB に立つ円周角 = 55°
P, Q が同じ弧側に。∠APB = 30° なら ∠AQB = 30°
AB が直径、円周上に P。∠APB = 90°
円に内接する四角形
すなわち ∠A + ∠C = 180°、∠B + ∠D = 180°。
円に内接する四角形 ABCD で ∠A = 70° のとき、∠C = 110°
- 同じ弧でも、円周角の位置が 弧の反対側にあるか 同じ側にあるかで角の見え方が変わる。基本は 反対側。
- 「弧 AB に対する円周角」というとき、P は弧 AB と 反対側の円周上にあるのが普通。
- 図を描いて、どの弧、どの角、どの点かを 必ず確認。
- 中心角 = 円周角 × 2（必ず2倍）
- 例：中心角 80° → 円周角 40°
- 例：円周角 35° → 中心角 70°
- 360°を超える場合：中心角 280° → 円周角 140°（外側の弧）
- 円に内接する四角形 ABCD：∠A + ∠C = 180°
- ∠B + ∠D = 180° も成立
- 長方形・正方形は内接する → 対角が90°+90°=180°
- ひし形は 正方形のときだけ内接（一般のひし形は内接しない）
弧をそろえて考える
- 円周角は「どの弧を見ているか」で決まる。角の頂点ではなく、両端の点に注目する。
- 同じ弧ABに対する円周角は、頂点が円周上を動いても大きさが変わらない。
- 中心角∠AOBと円周角∠APBが同じ弧ABを見ているとき、中心角は円周角の2倍。
- 半円、つまり直径ABに対する円周角は90°になる。
中心角が120°なら、同じ弧に対する円周角は60°。
円周角が35°なら、同じ弧に対する中心角は70°。
練習問題
- 中心角 100° → 同じ弧の円周角
- 円周角 25° → 同じ弧の中心角
- 中心角 200° → 同じ弧の円周角
答えを見る
(1) 50° (2) 50° (3) 100°
円周上の点 P, Q が弧 AB に対して同じ側にある。∠APB = 40° のとき ∠AQB は。
答えを見る
同じ弧の円周角 → 40°
AB を直径とする円の円周上に P がある。AP = 6, BP = 8 のとき AB の長さは（三平方の定理を使ってよい）。
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∠APB = 90°（直径の円周角）。直角三角形 APB で AB² = 6² + 8² = 100 → AB = 10
円に内接する四角形 ABCD で ∠A = 95°、∠B = 80°。∠C と ∠D は。
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∠C = 180 − 95 = 85°、∠D = 180 − 80 = 100°
まとめ
- 円周角の定理：同じ弧の円周角 = 中心角の半分。
- 同じ弧の円周角は すべて等しい。
- 直径の円周角は 90°。
- 円に内接する四角形：向かい合う角の和は 180°。
- 図を描き、どの弧・どの角・どの点かを必ず確認。