図でつかむ
この図は、式や定理を読む前に全体像をつかむための補助図です。問題を解くときも、まず同じような簡単な図を自分で描いてから条件を書き込むと、見落としが減ります。
円周角と中心角
中心角：円の中心から弧 AB を見たときの角 ∠AOB。
円周角：円周上の点 P から弧 AB を見たときの角 ∠APB。
円周角の定理
すなわち ∠APB = (1/2)∠AOB。
∠AOB = 80°（中心角）
→ ∠APB = 40°（円周角）
円周角 ∠APB = 35°
→ 中心角 ∠AOB = 70°
同じ弧の円周角はすべて等しい
円周上に P, Q がある。弧 AB に対して
∠APB = ∠AQB
（同じ中心角 ∠AOB の半分どうしだから）
半円の円周角は 90°
直径に対する弧の中心角は 180°（半円分）。
円周角 = 180°/2 = 90°
→ 直径を底辺とする三角形 APB の点 P での角は 直角。
円周角の使い方 ── 角の計算
弧 AB の中心角 110° のとき、弧 AB に立つ円周角 = 55°
P, Q が同じ弧側に。∠APB = 30° なら ∠AQB = 30°
AB が直径、円周上に P。∠APB = 90°
円に内接する四角形
すなわち ∠A + ∠C = 180°、∠B + ∠D = 180°。
円に内接する四角形 ABCD で ∠A = 70° のとき、∠C = 110°
- 同じ弧でも、円周角の位置が 弧の反対側にあるか 同じ側にあるかで角の見え方が変わる。基本は 反対側。
- 「弧 AB に対する円周角」というとき、P は弧 AB と 反対側の円周上にあるのが普通。
- 図を描いて、どの弧、どの角、どの点かを 必ず確認。
- 中心角 = 円周角 × 2（必ず2倍）
- 例：中心角 80° → 円周角 40°
- 例：円周角 35° → 中心角 70°
- 360°を超える場合：中心角 280° → 円周角 140°（外側の弧）
- 円に内接する四角形 ABCD：∠A + ∠C = 180°
- ∠B + ∠D = 180° も成立
- 長方形・正方形は内接する → 対角が90°+90°=180°
- ひし形は 正方形のときだけ内接（一般のひし形は内接しない）
弧をそろえて考える
- 円周角は「どの弧を見ているか」で決まる。角の頂点ではなく、両端の点に注目する。
- 同じ弧ABに対する円周角は、頂点が円周上を動いても大きさが変わらない。
- 中心角∠AOBと円周角∠APBが同じ弧ABを見ているとき、中心角は円周角の2倍。
- 半円、つまり直径ABに対する円周角は90°になる。
中心角が120°なら、同じ弧に対する円周角は60°。
円周角が35°なら、同じ弧に対する中心角は70°。
円周角の定理の逆
この章でつまずきやすいところ
円周角は「どの弧を見ているか」で値が決まるため、本文や図を読んでいる途中で頂点と弧の対応を取り違えやすい単元です。途中で迷いがちな具体場面を取り上げ、見分け方のコツを整理します。
弦ABを見れば角が等しいと思い込んでしまう
- つまずく場面：本文の「同じ弧の円周角は等しい」を読んでいる途中、図の中の弦ABだけに注目してしまい、点が反対側にあるか同じ側にあるかを確認しないまま「角は同じはず」と決めつけてしまう場面。
- 克服のコツ：位置関係で見分けます。等しいと言えるのは同じ弧に対する円周角だけで、弦ABだけでは足りません。点Pと点Qが弦ABを挟んで反対側にあるなら別の弧を見ているので、角は等しくならないと整理します。
- ミニ例：弧AB上に点P、反対側の弧に点Qがあるとき、∠APBと∠AQBは同じ弦ABを見ていても違う弧を見ているため等しくなりません。
中心角と円周角のどちらを2倍するか迷ってしまう
- つまずく場面：「中心角80°のとき円周角は？」という問題文を読んでいる途中、本文の「2倍」という言葉だけが頭に残り、80°を2倍して160°と書こうとして手が止まる場面。
- 克服のコツ：位置関係で見分けます。頂点が円の中心にあるのが中心角、円周上にあるのが円周角。同じ弧を見ているとき、中心から見た角（中心角）の方が大きく、円周から見た角（円周角）はその半分になります。大きい方から小さい方へは÷2、小さい方から大きい方へは×2と整理します。
- ミニ例：中心角∠AOB=80°なら、同じ弧を見る円周角∠APB=80÷2=40°。逆に円周角35°が与えられたら、同じ弧の中心角は35×2=70°です。
直径でないのに90°と書いてしまう
- つまずく場面：図の中に大きく見える弦が引かれているのを見ている途中、「半円の円周角は90°」を思い出して、その弦が直径かどうか確認しないまま∠APB=90°と書いてしまう場面。
- 克服のコツ：因果関係で見分けます。90°になるのは直径に対する円周角だから、という順序です。弦が円の中心Oを通っているかを先に確認し、通っていなければ90°と決めつけないようにします。中心Oが弦の上にあるかが判定ポイントです。
- ミニ例：ABが直径(中心Oを通る)で円周上にPがあるなら∠APB=90°。一方、ABが中心を通らない弦なら、たとえ長く見えても∠APBは90°と断定できません。
中心角が180°を超える場面で混乱してしまう
- つまずく場面：「弧が大きい側（優弧）を指す中心角が200°のとき、その弧を見る円周角は？」という問題を読んでいる途中、200°をそのまま2で割ってよいのか、いったん360°から引いてから2で割るべきなのか迷って手が止まる場面。
- 克服のコツ：位置関係で整理します。中心角が180°を超えていても、同じ弧に対する中心角と円周角の関係（円周角＝中心角÷2）はそのまま使えます。ややこしいのは、反対側の劣弧（小さい側の弧）を見る円周角は別の値になる点です。今どちらの弧を、円周上のどちら側の点から見ているのかを、計算前に必ず確認します。
- ミニ例：優弧側を指す中心角が200°のとき、その弧（優弧）を見る円周角は200°÷2=100°（劣弧側の点から見た角）。反対側の劣弧の中心角は360°−200°=160°で、その劣弧を見る円周角は160°÷2=80°（優弧側の点から見た角）。同じ200°でも、どちらの弧を見ているかで答えが変わります。
練習問題
- 中心角 100° → 同じ弧の円周角
- 円周角 25° → 同じ弧の中心角
- 中心角 200° → 同じ弧の円周角
答えを見る
(1) 50° (2) 50° (3) 100°
円周上の点 P, Q が弧 AB に対して同じ側にある。∠APB = 40° のとき ∠AQB は。
答えを見る
同じ弧の円周角 → 40°
AB を直径とする円の円周上に P がある。AP = 6, BP = 8 のとき AB の長さは（三平方の定理を使ってよい）。
答えを見る
∠APB = 90°（直径の円周角）。直角三角形 APB で AB² = 6² + 8² = 100 → AB = 10
円に内接する四角形 ABCD で ∠A = 95°、∠B = 80°。∠C と ∠D は。
答えを見る
∠C = 180 − 95 = 85°、∠D = 180 − 80 = 100°
まとめ
- 円周角の定理：同じ弧の円周角 = 中心角の半分。
- 同じ弧の円周角は すべて等しい。
- 直径の円周角は 90°。
- 円に内接する四角形：向かい合う角の和は 180°。
- 図を描き、どの弧・どの角・どの点かを必ず確認。
もっと知る ── 発展・実生活（出典つき）
※ 教科書の内容に、信頼できる出典をもとにした発展・実生活・時事の話題を補足しています（教科書そのものではありません）。
「直径の円周角は90°」はタレスの定理とよばれる発展
直径に対する円周角が直角になることは、古代ギリシャの哲学者タレスにちなんで「タレスの定理」とよばれます。半円に内接する三角形が直角三角形になるというこの性質は、図形のきまりを最初に論証(証明)した例の一つとして伝えられています。
三角定規で円の中心を見つけられる実生活
直角をもった三角定規や紙の角を円周にあてると、二辺が円と交わる2点を結んだ線が直径になります。これはタレスの定理の逆を使ったもので、別の場所でもう一度引いた直径との交点が円の中心です。工作で円板の中心を探すときなどに役立ちます。
船や測量の位置決めにひそむ円周角実生活
海図上の3つの目標への角度を測って自分の位置を求める方法では、同じ弧の上では円周角が等しいという性質が使われます。逆に、目標と観測点が同じ円周上に並ぶと角度から位置を決められなくなり、これは測量で「危険円(danger circle)」とよばれます。
中心角の2倍ルールから内接四角形のきまりが導ける発展
円に内接する四角形の向かい合う角の和が180°になるのは、円周角の定理から証明できます。向かい合う2つの角は同じ弦の反対側にあり、それぞれが対応する中心角の半分なので、合わせると360°の半分=180°になるのです。
円周角の定理から「交わる弦の積」が等しいと分かる発展
円の中で2本の弦が交わると、それぞれが分けられた部分の長さの積が等しくなります。これは同じ弧に対する円周角が等しいことから相似な三角形ができるためで、円周角の定理が高校で学ぶ「方べきの定理」につながっていくことを示しています。
タレスは影や角度で測れないものを測った実生活
タレスは、地面にできる影と自分の身長を比べてピラミッドの高さを求めたと伝えられています。直接ものさしを当てられない大きさや距離も、図形の性質を使えば計算で求められるという考え方は、いまの測量や工学にも受けつがれています。
出典：ウィキペディア「タレス」