図でつかむ
この図は、式や定理を読む前に全体像をつかむための補助図です。問題を解くときも、まず同じような簡単な図を自分で描いてから条件を書き込むと、見落としが減ります。
円と相似 ── 円周角を使って相似を示す
円周上の点 A, B, C, D で2つの弦 AB, CD が円の内部の P で交わるとき、△PAC ∽ △PDB になる。これは円周角の定理が背景。
弦 AB と CD が点 P で交わる。
△PAC と △PDB において、
① ∠CAP = ∠BDP（弧 BC に対する円周角）
② ∠APC = ∠DPB（対頂角）
①、② より △PAC ∽ △PDB
例1の相似から、PA:PD = PC:PB → PA·PB = PC·PD
PA=4, PB=6, PC=8 のとき PD = (PA·PB)/PC = 24/8 = 3
円外の点からの2弦
円の外の点 P から円に2本の弦を引いたとき（割線）も、同様に PA·PB = PC·PD。証明はやはり円周角と相似。
接線と接点 ── 半径と直交
点 P から円 O に引いた接線 PT、接点 T。
OT ⊥ PT（半径と接線は直交）
→ △OPT は直角三角形。三平方の定理で辺の長さが計算できる。
外部点からの2本の接線は等しい
点 P から円に引いた接線の接点を T, T'
PT = PT'
理由：△OPT と △OPT' は OP 共通、OT = OT'（半径）、∠OTP = ∠OT'P = 90° → 合同 → PT = PT'
円と平行線 ── 弧の長さの比
円の2本の弦が平行のとき、それらに挟まれた弧の長さが等しい。
→ 同位角に対する円周角が等しいから。
定番パターン：円周角 + 相似 + 三平方
① 円周角の定理で 2角を見つける
② 相似条件「2角」で 三角形の相似を確定
③ 対応する辺の比から 長さを求める
④ 直径や接線があれば 三平方の定理も活用
方べきの定理（参考）
① 2弦が交点 P（内部）：PA · PB = PC · PD
② 2割線が交点 P（外部）：PA · PB = PC · PD
③ 接線と割線：PT² = PA · PB（PT は接線、PA, PB は割線の長さ）
→ どの場合も「2つの掛け算が等しい」
中3では公式名は出てこないが、相似から導ける
応用問題パターン
- 弦の交点問題：方べきの関係
- 接線と弦：接弦角の定理（高校）
- 円と三角形：内接円・外接円
- 2円の関係：2円の交点・接点
- これらは入試で頻出
- 「弧 AB に対する円周角」は、A, B 以外の 円周上の点 P から見た ∠APB
- P がどちら側にあるかで角の大きさが変わる場合がある（中3範囲では同じ側で考えればOK）
- 図を描き、どの弧・どの円周角・どの中心角かを 記号で明示する
- PA × PB = PC × PD（順序に注意）
- P から見たそれぞれの弦の両端までの距離の積
- 覚え方：「Pから一直線上の2点までの長さの積」
- 接線は 接点で半径と垂直
- これを使って三平方の定理を適用
- r² + (接線)² = (中心から外部点までの距離)²
円と相似をつなぐ視点
- 円周角で等しい角を見つけると、三角形の相似条件「2組の角がそれぞれ等しい」につながる。
- 接線と半径は接点で垂直。接線が出たら、半径を補助線として引く。
- 直径があるときは、円周角90°から直角三角形を作れる。
- 角度計算では、弧を共有している角、対頂角、三角形の内角和を順に使う。
- 中心Oが与えられているなら、Oと円周上の点を結ぶと半径ができる。
- 直径の端点が見えるなら、その2点と円周上の点を結んで直角を探す。
練習問題
円の中で弦 AB と CD が点 P で交わる。PA = 6, PB = 4, PC = 3 のとき PD は。
答えを見る
PA·PB = PC·PD → 24 = 3·PD → PD = 8
点 P から円 O に接線 PT を引き、PT = 12、PO = 13 のとき、円の半径 r は。
答えを見る
△OPT は直角三角形（∠OTP = 90°）。r² + 12² = 13² → r² = 25 → r = 5
外部の点 P から円に引いた2接線の接点が T, T'。PT = 8 のとき PT' は。
答えを見る
外部点から円への2接線は等しい → PT' = 8
まとめ
- 円周角の定理を使うと、円と関わる三角形の 相似が次々証明できる。
- 2弦の交点：PA·PB = PC·PD（方べきの定理）。
- 接線は接点を通る 半径と直交。
- 外部点からの 2接線の長さは等しい。
- パターン：円周角 → 2角 → 相似 → 辺の比 → 三平方の流れが定番。