復習のポイント
- 円周角の定理：同じ弧の円周角は等しい
- 中心角と円周角：中心角 = 円周角 × 2
- 直径と円周角：直径に立つ円周角は 90°（タレスの定理）
- 内接四角形：対角の和は 180°
- 方べきの定理（参考）：PA × PB = PC × PD（弦の交点）
- 三平方の定理との組合せで応用問題
円周角問題の基本線
- 同じ弧に対する円周角は等しい。まず、どの弧を見ている角かを確認する。
- 中心角は同じ弧に対する円周角の2倍。
- 直径に対する円周角は90°。直角三角形が隠れていないかを見る。
- 円周角の逆を使う問題では、同じ線分を同じ角度で見る点は同じ円周上にあると考える。
注意
- 角が等しい理由を「円だから」と書かない。同じ弧か、直径か、中心角かを明記する。
- 弧ABに対する角と弧ACに対する角を混同しない。
A 円周角の計算（15問）
- 中心角 120° → 同じ弧の円周角
- 円周角 25° → 同じ弧の中心角
- 同じ弧の2つの円周角 ∠APB = 30°、∠AQB は
- 直径 AB に立つ円周角
- 円に内接する四角形 ABCD で ∠A = 75°、∠C は
- 円に内接する四角形 ABCD で ∠B = 110°、∠D は
- 中心角 200° → 円周角
- 中心角 90° → 円周角
- 円周角 60° → 弧の中心角
- 円周角 90° → 弦は
- 円周角 45° → 中心角
- 中心角 80° → 円周角
- 円周上の3点で作る三角形の内角の和
- 内接四角形で ∠A=90° → ∠C
- 同じ弧の円周角同士の関係
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(1) 60° (2) 50° (3) 30°（同じ弧） (4) 90°（タレス） (5) 105°（180−75） (6) 70°
(7) 100°（200/2） (8) 45° (9) 120° (10) 直径
(11) 90° (12) 40° (13) 180°（普通の三角形と同じ） (14) 90° (15) 等しい
B 相似・接線・直径応用（15問）
- 弦 AB, CD が P で交わる。PA=6, PB=4, PC=3 → PD
- PA=5, PB=8, PD=10 → PC
- 外部点 P から円に2接線。接点を T,T'。PT=10 → PT'
- 点 P から円 O に接線。PT=12、PO=15 → 半径
- 直径 AB=10、円周上 P で AP=6 → BP
- 直径 AB=13、円周上 P で AP=5 → BP
- 直径 AB、円周上 P で ∠ABP=35° → ∠BAP
- 同じ弧の円周角 ∠APB=∠AQB=42° なら、弧の中心角
- 弧 AB の長さが弧 CD の2倍 → 円周角 ∠APB と ∠CQD の関係
- 内接する四角形 ABCD で ∠BAD = 100°、∠ABC = 70° → ∠BCD, ∠CDA
- 円の半径6、弧の長さが弧全体の1/3 → 中心角・円周角
- 外部の1点から円に引いた2本の接線の長さの性質
- 円に内接する正三角形の中心角
- 円に内接する正方形の中心角
- 円に内接する正六角形の中心角
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(1) 24 = 3·PD → 8 (2) 40 = PC·10 → 4
(3) 10（外部から2本の接線は等しい） (4) r² = 15² − 12² = 81 → r = 9
(5) ∠APB=90°、6²+BP²=10² → BP²=64 → BP=8
(6) 5²+BP²=169 → BP²=144 → BP=12
(7) ∠APB=90°、∠BAP=90−35=55°
(8) 84°（円周角の2倍）
(9) ∠APB = 2·∠CQD（弧の長さに比例）
(10) ∠BCD=180−100=80°、∠CDA=180−70=110°
(11) 中心角120°、円周角60° (12) 2本の接線の長さは等しい
(13) 120°（360/3） (14) 90°（360/4） (15) 60°（360/6）
C 三平方との組合せ（5問）
- 直径 10 の円、弦 AB=8 のとき中心から弦までの距離
- 半径 5 の円、中心から距離 3 のところに弦 → 弦の長さ
- 直径 13 の円に内接する直角三角形、一辺 5 → 他の二辺
- 半径 10 の円の周上 4 点で正方形、対角線
- 半径 r の円に内接する正三角形の一辺
答えを見る
(1) 半径 5、半弦 4 → √(5²−4²) = 3
(2) 半弦 = √(5²−3²) = 4、弦 = 8
(3) 斜辺は直径13、5²+x²=169 → x=12（5,12,13 直角三角形）
(4) 対角線 = 直径 = 20
(5) r√3
テスト前のチェックリスト
- □ 中心角 = 円周角 × 2
- □ 同じ弧の円周角は等しい
- □ 直径に立つ円周角は90°
- □ 内接四角形の対角の和は180°
- □ 円外の点からの2接線の長さは等しい
- □ 接線と半径は接点で垂直
- □ 三平方の定理と組み合わせる応用
つまずきポイントの再確認
- 「同じ弧」とは：同じ点A、Bにはさまれた弧
- 中心角と円周角の方向：両方とも同じ弧側を見る
- 内接四角形：4つの頂点が円周上にある四角形
- 接線は接点で半径に垂直、これを使って三平方
円周角の典型問題パターン
入試で頻出するパターン
① 同じ弧 = 同じ円周角を見つける → 2角相似
② 直径 = 90°のヒントを探す → 直角三角形 → 三平方
③ 内接四角形の対角の和で角度計算
④ 方べきの定理で辺の長さを連立
⑤ 2接線の長さが等しい性質で連立方程式
応用：内接円と外接円
- 三角形の外接円：3頂点を通る円。中心は3辺の垂直二等分線の交点
- 三角形の内接円：3辺に接する円。中心は3つの角の二等分線の交点
- 正三角形：外接円の半径 R と内接円の半径 r の関係 R = 2r
- 直角三角形：斜辺の中点が外接円の中心、半径は斜辺の半分
つまずきポイント①：弧と円周角の対応を間違える
- 「弧 AB」と書いてあっても、A から B まで 2通りある（短い弧と長い弧）
- 図を描いてどちら側か明示する
- 円周角はどちら側に立つかで違う角度になる
つまずきポイント②：相似と方べきの順序
- 方べきの定理は「相似」が背景
- まずは2角の相似を示し、対応する辺の比から PA·PB = PC·PD を導く
- 順序を間違えるとミスする → 「P から見た2点までの距離の積」
つまずきポイント③：三平方との連携
- 直径に立つ円周角 = 90° → 三平方の定理が使える
- 接線と半径も垂直 → 三平方
- 中心から弦までの距離も垂直 → 三平方
- 「90°を見つける」のが解法のコツ