図でつかむ
この図は、式や定理を読む前に全体像をつかむための補助図です。問題を解くときも、まず同じような簡単な図を自分で描いてから条件を書き込むと、見落としが減ります。
三平方の定理
a² + b² = c²
C
／|
c | b
／ |
A────B ← 直角は B
a
a, b：直角を挟む2辺 ／ c：斜辺（直角の向かい）
身近な例 ── 整数比の直角三角形
- 3 : 4 : 5（9 + 16 = 25）
- 5 : 12 : 13（25 + 144 = 169）
- 8 : 15 : 17（64 + 225 = 289）
- 7 : 24 : 25（49 + 576 = 625）
3:4:5 と 5:12:13 だけ覚えれば、入試の8割はカバー。
使い方 ── 斜辺を求める
c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
c = 5
c² = 25 + 144 = 169
c = 13
c² = 1 + 4 = 5
c = √5
使い方 ── 直角を挟む辺を求める
5² + b² = 13²
25 + b² = 169 → b² = 144
b = 12
6² + b² = 10² → b² = 64 → b = 8
三平方の定理の逆
3辺が 7, 24, 25 の三角形は直角三角形か？
7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25² ◯
→ 直角三角形（斜辺 25）
有名な直角三角形の比（覚える）
45°-45°-90°（直角二等辺）：辺の比 1:1:√2
30°-60°-90°：辺の比 1:√3:2
直角を挟む2辺 5、5 の直角二等辺三角形
斜辺 = 5√2
最短の辺（30° の対辺）= 4
中辺（60° の対辺）= 4√3
斜辺（90° の対辺）= 8
- 斜辺 = 直角の向かい側の辺。3つの辺のうち 最も長い。
- 「a² + b² = c²」の c は斜辺。a, b は直角を挟む2辺。順序を確認。
- 慣れるまでは図を描いて、どこが斜辺かにマーキング。
使う前に斜辺を決める
- 三平方の定理は直角三角形だけで使える。まず直角の印を確認する。
- 斜辺は直角の向かい側で、3辺の中で最も長い。式の右辺に置くのは斜辺の2乗。
- 残りの辺を求めるときは、斜辺の2乗から、わかっている直角を挟む辺の2乗を引く。
- 逆の定理では、一番長い辺をcとして a²+b²=c² を調べる。
x²=6²+8²=100 なので x=10。
もし斜辺が8なら、6²+x²=8² と置く。どの辺が斜辺かで式が変わる。
練習問題
- 6 と 8
- 9 と 12
- 2 と 3
- √3 と 1
答えを見る
(1) √(36+64) = 10 (2) √(81+144) = 15 (3) √13 (4) √(3+1) = 2
- 斜辺 10、1辺 6
- 斜辺 13、1辺 5
- 斜辺 √5、1辺 1
答えを見る
(1) √(100−36) = 8 (2) √(169−25) = 12 (3) √(5−1) = 2
次の3辺の三角形は直角三角形か。
- 8, 15, 17
- 5, 6, 8
- 9, 40, 41
答えを見る
(1) 64+225 = 289 = 17² → 直角 (2) 25+36 = 61 ≠ 64 → 違う (3) 81+1600 = 1681 = 41² → 直角
まとめ
- 三平方の定理：a² + b² = c²（c は斜辺）。
- 覚える整数比：3:4:5、5:12:13。
- 逆も成り立つ：a² + b² = c² ⇒ 直角三角形。
- 特別な直角三角形：1:1:√2（45°）、1:√3:2（30-60°）。
- 斜辺 = 直角の向かい側で、3辺中 最大。