図でつかむ
この図は、式や定理を読む前に全体像をつかむための補助図です。問題を解くときも、まず同じような簡単な図を自分で描いてから条件を書き込むと、見落としが減ります。
正方形の対角線
対角線² = a² + a² = 2a²
対角線 = a√2
対角線 = 5√2 ≒ 7.07 cm
正三角形の高さ・面積
高さ：半分の底辺 (a/2) と頂点を結び、直角三角形
高さ² = a² − (a/2)² = a² − a²/4 = 3a²/4
高さ = (√3/2)a
面積 = (1/2)·a·(√3/2)a = (√3/4)a²
高さ = (√3/2)·6 = 3√3 cm
面積 = (√3/4)·36 = 9√3 cm²
座標平面の2点間距離
AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
差：x の差 3、y の差 4
距離 = √(9 + 16) = √25 = 5
x の差 5、y の差 −4
距離 = √(25 + 16) = √41
円と弦 ── 中心からの垂線
円の中心から弦に垂線を下ろすと、弦を 2等分する。
半径 r、中心から弦までの距離 d、弦の長さ ℓ のとき：
(ℓ/2)² + d² = r² → ℓ = 2√(r² − d²)
弦² = 2² · (100 − 36) = 4·64 → 弦/2 = 8 → 弦 = 16
→ 弦の長さ 16
長方形の対角線
対角線 = √(a² + b²)
例：縦 3, 横 4 → 対角線 = 5
三角形の3辺から面積
底辺 6、等辺 5 の二等辺三角形
頂点から底辺に垂線 → 底辺の中点まで 3
高さ² = 5² − 3² = 16 → 高さ = 4
面積 = (1/2)·6·4 = 12
- 三平方の定理を使うには 必ず直角三角形が必要。
- 図に直角三角形がないときは、補助線を引いて作る（高さの垂線、対角線、半径など）。
- 「どの三角形が直角になるか」を見つけるのが、応用問題のカギ。
- 2点 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) の距離 = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- 差の 2乗を取るので、引き算の順序は気にしなくてよい
- 例：A(0, 0), B(3, 4) → 距離 = √(9+16) = 5
- 1辺 a の正三角形について：
- 高さ = (√3/2)·a
- 面積 = (√3/4)·a²
- 計算は「中央の垂線を引いて30°-60°-90°の直角三角形」
- 1:√3:2 の比から導ける
平面図形で直角三角形を作る
- 三平方の定理は、図の中に直角三角形を作るところから始まる。
- 長方形・正方形の対角線は、縦と横を直角を挟む2辺とする。
- 座標平面では、横の差と縦の差を直角を挟む2辺として距離を求める。
- 正三角形では、高さを下ろすと 30°-60°-90° の直角三角形ができる。
横の差は4、縦の差は3。距離は √(4²+3²)=5。
練習問題
- 1辺8の正方形の対角線
- 1辺4の正三角形の高さと面積
- 縦5横12の長方形の対角線
答えを見る
(1) 8√2 (2) 高さ 2√3、面積 4√3 (3) 13
次の2点間の距離を求めよ。
- A(0, 0), B(3, 4)
- A(1, −2), B(5, 1)
- A(−3, 4), B(2, −1)
答えを見る
(1) 5 (2) √(16+9) = 5 (3) √(25+25) = 5√2
半径13の円の中で、中心からの距離が5の弦の長さは。
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弦の半分 = √(13² − 5²) = √144 = 12 → 弦 = 24
底辺16、等辺17の二等辺三角形の面積。
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高さ² = 17² − 8² = 289 − 64 = 225 → 高さ 15、面積 = (1/2)·16·15 = 120
まとめ
- 正方形の対角線 = a√2、長方形の対角線 = √(a²+b²)。
- 正三角形の高さ = (√3/2)a、面積 = (√3/4)a²。
- 2点間距離：√((x差)² + (y差)²)。
- 円と弦：(弦/2)² + (中心からの距離)² = (半径)²。
- 応用問題は 直角三角形を見つける／補助線で作る。