図でつかむ
この図は、式や定理を読む前に全体像をつかむための補助図です。問題を解くときも、まず同じような簡単な図を自分で描いてから条件を書き込むと、見落としが減ります。
直方体の対角線
D = √(a² + b² + c²)
① 底面の対角線（縦と横の三平方）：√(a² + b²)
② 底面の対角線と高さで直角三角形：D² = (a² + b²) + c²
→ D = √(a² + b² + c²)
D = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13
D = √(a² + a² + a²) = a√3
円錐の母線・側面積
母線²= 半径² + 高さ² = 9 + 16 = 25
ℓ = 5
3² + r² = 5² → r² = 16 → r = 4
角錐の高さ・斜辺
底面の対角線の半分 = (6√2)/2 = 3√2
斜辺² = 4² + (3√2)² = 16 + 18 = 34
斜辺 = √34
展開図と最短距離
立体の表面を 巻物を広げるように展開すると、最短経路は 直線になる。長さは三平方で。
縦4, 横6, 高さ3 の直方体。1つの頂点 A から対角の頂点 G まで、表面上を通る最短距離。
展開する方向によって最短が変わる。
① 上→側 展開：縦 4+3=7, 横 6 → 距離 √(49+36) = √85
② 上→前 展開：縦 4, 横 6+3=9 → 距離 √(16+81) = √97
③ 横→前 展開：縦 4+6=10, 横 3 → 距離 √(100+9) = √109
→ 最短は √85
円錐の表面上の最短距離
側面を展開すると 扇形。中心角 θ は、円周 2π·3 = 弧 6θ から θ = π（180°）。
展開図で P から P へ最短 = 扇形の弦 = 2·母線·sin(中心角/2)
中心角 180° なので最短 = 2·6·1 = 12（半円の直径）
球と接線・接面
球の半径と接線：接線と半径は接点で垂直
中心から距離 d、半径 r、接線の長さ ℓ → ℓ² = d² − r²
球の断面：球の中心から距離 d で切った断面は円
断面の半径 = √(r² − d²)（r は球の半径）
立方体の対角線の特別パターン
1辺 a の立方体について：
辺：a
面の対角線：a√2（正方形の対角線）
立体の対角線：a√3
→ a : a√2 : a√3 の比が立方体の3つの長さの基本
角錐・円錐の体積と表面積
- 角錐の体積：(1/3) × 底面積 × 高さ
- 円錐の体積：(1/3) × π r² × 高さ
- 円錐の側面積：π × 半径 × 母線
- 円錐の展開図：扇形の中心角 = 360° × (底面半径 / 母線)
- 三平方で高さや母線を求めてから、体積・表面積を計算
切り口の形
立方体の3頂点を通る平面で切ると 正三角形になる場所がある
1辺 a の立方体で、3頂点の断面 = 1辺 a√2 の正三角形
面積 = (√3/4)·(a√2)² = (√3/4)·2a² = (√3/2)·a²
→ 三平方で対角線を求めた後、正三角形の面積公式を使う
- 立体問題は、関係する 直角三角形を平面に取り出すのが最初の作業。
- 対角線・高さ・斜辺はすべて、適切な平面（断面）で見れば三平方が使える。
- 最短距離は 展開図で考える。直線が答え。
- 3次元の三平方 = 2次元の三平方を2回使った結果
- D² = a² + b² + c² と覚えると簡潔
- 「2乗の和の平方根」が対角線の長さ
- 母線：頂点から底面の円周まで（斜め）
- 高さ：頂点から底面の中心まで（垂直）
- 底面半径：底面の中心から円周まで（水平）
- 母線² = 高さ² + 半径²（直角三角形）
練習問題
縦5, 横6, 高さ8の直方体の対角線の長さ。
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√(25+36+64) = √125 = 5√5
1辺10の立方体の対角線の長さ。
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10√3
底面半径 6、高さ 8 の円錐の母線。
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√(36+64) = 10
底面半径 3, 母線 6 の円錐の表面で、底面の周上の点 P から1周して戻る最短距離。
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展開すると中心角 180° の半円扇形 → 直径 = 12
まとめ
- 直方体の対角線 = √(a² + b² + c²)。立方体は a√3。
- 円錐の母線 ℓ = √(半径² + 高さ²)。
- 角錐の斜辺：底面の 対角線の半分と高さで三平方。
- 表面上の最短距離は 展開図 → 直線。
- 立体は 平面に取り出して三平方を使う。