復習のポイント
- 三平方の定理：直角三角形で a² + b² = c²（c は斜辺）
- 逆も成り立つ：a² + b² = c² なら直角三角形
- 有名な三角形：3:4:5、5:12:13、8:15:17、7:24:25
- 1:1:√2：直角二等辺三角形
- 1:√3:2：30°-60°-90° の直角三角形
- 座標平面の2点間距離、空間の対角線、最短距離問題
この章でつまずきやすいところ
三平方の定理は「直角三角形のどこを斜辺と見るか」「いま使っているのは定理か、その逆か」で混乱しやすい単元です。ここでは問題を解く途中で起こりがちな迷いを4つ取り上げ、立ち止まり方を整理します。
一番長い辺を斜辺と思い込んでしまう
- つまずく場面：三辺の長さが与えられた問題で「斜辺はどれだろう」と迷い、図のいちばん長く描かれた辺をそのまま c に置いてしまいがちです。直角の位置を確かめずに式を立てる手が止まる場面です。
- 克服のコツ：見分け方として、まず直角の印を探し、その向かい側にある辺を斜辺とします。図に直角の印がない場合は、3辺で a²+b²=c² が成り立つかを試し、等しくなるときの c が斜辺です。最長辺かどうかは結果であって基準ではありません。
- ミニ例：3辺が 6, 8, 10 のとき、6²+8²=100=10² なので 10 が斜辺。長さの大小だけで決めず、平方の和で確認する手順を踏みます。
定理と「定理の逆」を同じ場面で使ってしまう
- つまずく場面：「直角三角形か確かめなさい」と「斜辺の長さを求めなさい」の区別があいまいになり、長さを求める場面で 3辺を比較してしまったり、判定の場面で c を勝手に置いてしまったりする迷いです。
- 克服のコツ：因果関係で整理します。直角だと分かっている → 三平方の定理で長さを求める。3辺が分かっている → 逆を使って直角かを判定する。問題文に「直角三角形の」とあるかどうかが切り替えのスイッチです。設問を読み終わった瞬間にどちらかを決めてから式に進みます。
- ミニ例：3辺 4,5,6 の判定では 4²+5²=41、6²=36。a²+b² と c² が等しくないので直角三角形ではない、と「逆」で結論まで進めます（判定の基準は『等しいかどうか』です）。
立体の対角線で3辺をいきなり一つの式に入れてしまう
- つまずく場面：直方体や立方体の対角線を求める問題で、縦・横・高さの3つを一度に三平方の定理に入れたくなり、「a²+b²+c² でいいの？」と手が止まる場面です。平面の式とのつながりが見えなくなります。
- 克服のコツ：位置関係で2段階に分けます。(1) 底面の対角線を先に求める（底面の縦と横で三平方）。(2) その対角線と高さで、もう一度直角三角形を作る。結果として √(a²+b²+c²) になりますが、図の中で直角三角形を二つ描いて確かめると迷いません。
- ミニ例：縦3, 横4, 高さ12 の直方体なら、底面の対角線は √(9+16)=5。次に 5 と 12 で √(25+144)=13。これが体対角線です。
立体の表面の最短距離を立体のまま測ろうとしてしまう
- つまずく場面：「直方体の表面を通って対角の頂点まで行く最短距離」のような問題で、立体図を見たまま辺を足し合わせたり、体対角線の式を使おうとしたりして、何が「最短」なのか分からなくなる場面です。
- 克服のコツ：位置関係を切り替えます。表面上の最短距離は展開図に開いて直線で測るのが基本です。立体のままでは曲がってしまう経路も、平面に開けば2点を結ぶ線分で表せます。直方体なら展開のしかたが複数（最大3通り）あるので、候補の距離を比べていちばん短いものを選びます。なお、この場面では体対角線の式（√(a²+b²+c²)）は使いません（表面を通る最短のときに限った話で、立体内部の対角線を求めるときには使います）。
- ミニ例：縦4・横6・高さ3 の直方体の表面最短は、展開して √85, √97, √109 の3通りを比較し、いちばん短い √85 を採用します。表面最短を扱うこの場面では体対角線の式は使いません。
- 直角を挟む辺 3, 4 → 斜辺
- 直角を挟む辺 5, 12 → 斜辺
- 斜辺 13, 1辺 5 → 残り
- 斜辺 17, 1辺 8 → 残り
- 3辺 6,8,10 → 直角か
- 3辺 4,5,6 → 直角か
- 1:1:√2 の直角二等辺で、等辺5 → 斜辺
- 1:√3:2 の三角形で、最短辺3 → 中辺と斜辺
- 直角を挟む辺√7, 3 → 斜辺
- 3辺 9,12,15 → 直角か
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(1) 5 (2) 13 (3) 12 (4) 15
(5) 36+64=100=10² → 直角 (6) 16+25=41≠36 → 違う
(7) 5√2 (8) 3√3、6 (9) √(7+9) = 4 (10) 81+144=225=15² → 直角
- 1辺6の正方形の対角線
- 1辺8の正三角形の高さ
- 1辺8の正三角形の面積
- (2,3) と (6,6) の距離
- (−1,2) と (3,−1) の距離
- 半径10の円、中心から弦まで距離6 → 弦の長さ
- 縦9, 横40の長方形の対角線
- 底辺10, 等辺13の二等辺三角形の面積
- 1辺 a の正方形の対角線
- (0,0) と (3,4) の距離
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(1) 6√2 (2) 4√3 (3) 16√3
(4) √(16+9) = 5 (5) √(16+9) = 5
(6) 半分 √(100−36) = 8 → 弦 16
(7) √(81+1600) = √1681 = 41 (8) 高さ = √(169−25) = 12、面積 = 60
(9) a√2 (10) √(9+16) = 5
- 1辺4の立方体の対角線
- 1辺6の立方体の対角線
- 縦3, 横4, 高さ12の直方体の対角線
- 縦5, 横6, 高さ8 の直方体の対角線
- 底面半径5、高さ12の円錐の母線
- 母線15、底面半径9の円錐の高さ
- 底面1辺6、高さ4の正四角錐の側辺
- 1辺 a の立方体の対角線
- 直方体の三辺が a, b, c のときの対角線
- 底面半径3、高さ4の円錐の体積（参考）
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(1) 4√3 (2) 6√3
(3) √(9+16+144) = √169 = 13 (4) √(25+36+64) = √125 = 5√5
(5) 13 (6) √(225−81) = 12
(7) 底面対角線半分 3√2、斜辺 = √(16+18) = √34
(8) a√3 (9) √(a²+b²+c²) (10) (1/3)π·9·4 = 12π
- 直方体 縦4,横6,高さ3 の表面上、対角頂点までの最短距離
- 底面半径3、母線9の円錐の側面上、1周して戻る最短距離
- 1辺6の立方体、面の対角線の長さ
- 1辺6の立方体の体対角線
- 三角形 3, 4, 5 の面積
- 三角形 5, 12, 13 の面積
- 正四面体（4面が正三角形）1辺6の高さ
- 地上から高さ100mのビル、地平までの距離（地球半径6400km）
- 2台の車が直角に進む、A時速30km、B時速40km、1時間後の距離
- 梯子12m、壁から距離5m → 壁の高さ
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(1) 3つの展開方向を比較：min(√85, √97, √109) = √85
(2) 中心角 = (2π·3)/9 = 120°、扇形の弦 = 2·9·sin(60°) = 9√3
(3) 6√2 (4) 6√3 (5) (3·4)/2 = 6 (6) (5·12)/2 = 30
(7) 6·√(2/3) = 2√6 (8) √((6400000+100)²−6400000²) ≈ 35.8km（参考）
(9) √(900+1600) = 50km (10) √(144−25) = √119 ≈ 10.9m
- 1辺 a+b の正方形の中に、直角三角形（直角をはさむ辺が a, b、斜辺が c）を4枚、向きを変えて並べると、中央に1辺 c の正方形ができる。次の空所をうめて a²+b²=c² を導きなさい。
大きい正方形の面積 = (a+b)² = 4つの三角形の面積の和 ＋ 中央の正方形の面積 = 4×（ ① ）＋（ ② ）
これを展開・整理すると a²+2ab+b² = 2ab+c² となり、両辺から 2ab を引くと（ ③ ）が導かれる。
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① ab/2 ② c² ③ a²+b²=c²
テスト前のチェックリスト
- □ a² + b² = c²（c は斜辺）
- □ 有名三角形：3:4:5、5:12:13、8:15:17
- □ 直角二等辺：1:1:√2
- □ 30°-60°-90°：1:√3:2
- □ 立方体の対角線 = 1辺 × √3
- □ 正方形の対角線 = 1辺 × √2
- □ 正三角形の高さ = 1辺 × √3/2
- □ 直方体の対角線 = √(a²+b²+c²)
- □ 2点間距離 = √((x差)² + (y差)²)
- 斜辺はどれか：直角の対辺（最長）
- 三辺が逆向きでも成立：a²+b²=c² の確認で直角の検証
- 展開図：立体の最短距離は展開図で考える
- 有名三角形を覚えると計算が速い
三平方の定理の証明（参考）
1辺 a+b の正方形の中に、4つの直角三角形（辺 a, b, c）を入れる
中央に1辺 c の正方形ができる
大きい正方形の面積 = (a+b)²
＝ 4つの三角形 + 中央の正方形
＝ 4·(ab/2) + c²
＝ 2ab + c²
よって a² + 2ab + b² = 2ab + c² → a² + b² = c²
有名な直角三角形の覚え方
- 3:4:5 3²+4²=9+16=25=5² (基本)
- 5:12:13 5²+12²=25+144=169=13²
- 8:15:17 8²+15²=64+225=289=17²
- 7:24:25 7²+24²=49+576=625=25²
- 9:40:41 9²+40²=81+1600=1681=41²
- 全部「ピタゴラス数」と呼ばれる
特殊な直角三角形の比
45°-45°-90°（直角二等辺）：1:1:√2
1辺の正方形の対角線
30°-60°-90°：1:√3:2
正三角形の半分
→ 特殊な角度は 比だけで計算できるのが利点
三平方の応用例（実社会）
- 建築：3:4:5 を使って直角を作る（古代から）
- GPS：位置を計算するのに2点間距離（三平方）
- カーナビ：道路上の距離計算
- 木材の対角線：四角の板の対角線で寸法を測る
- テレビ・モニター：「50インチ」は対角線の長さ