乗法の符号ルール
教科書では、東西にのびる道を歩く場面で乗法を考えます。東への速さを正、西への速さを負、また 現在より後の時間を正、現在より前の時間を負 と決めます。
(+4)×(+2)：東へ時速4kmで、現在より2時間後 → 東へ8km → +8
(+4)×(−2)：東へ時速4kmで、現在より2時間前 → 西へ8km → −8
(−4)×(+2)：西へ時速4kmで、現在より2時間後 → 西へ8km → −8
(−4)×(−2)：西へ時速4kmで、現在より2時間前 → 東へ8km → +8
このように見ると、符号の4パターンはただの暗記ではありません。向きが同じ性質なら正、反対の性質なら負になると考えられます。
2つの数のかけ算で：
- 同符号どうし（＋×＋ または −×−） → 答えの符号は ＋
- 異符号どうし（＋×− または −×＋） → 答えの符号は −
- 絶対値は普通にかけ算
なぜ「マイナス×マイナス＝プラス」？
もっとも納得しづらいのが (−3) × (−4) = +12。1つの説明として：
(+3) × (+4) = +12
(+2) × (+4) = +8 （−4ずつ減る）
(+1) × (+4) = +4
(0) × (+4) = 0
(−1) × (+4) = −4
(−2) × (+4) = −8
(−3) × (+4) = −12 ← 異符号 → −
次は かける数を変える方向で考える：
(−3) × (+4) = −12
(−3) × (+3) = −9 （+3ずつ増える）
(−3) × (+2) = −6
(−3) × (+1) = −3
(−3) × (0) = 0
(−3) × (−1) = +3
(−3) × (−2) = +6
(−3) × (−3) = +9
(−3) × (−4) = +12 ← 同符号 → ＋
「+3ずつ増える」という規則性を 負の数まで続けるとそうならざるを得ない、というわけです。
−1をかけると符号が変わる
乗法でよく使う見方が、−1をかけることは符号を反対にすることです。
- (−1)×(+6) = −6
- (−1)×(−6) = +6
- −(−3) は、(−1)×(−3) の意味なので +3
「マイナスが前につくと符号が反対になる」という感覚は、この −1倍の考え方で説明できます。
計算手順：符号を先に決める
正負の数の乗法は 2段階で：
- 符号を決める ── 同符号なら＋、異符号なら−
- 絶対値をかける ── 普通のかけ算
例：(+6) × (−7) → 異符号なので − ／ 絶対値の積 6×7=42 → −42
例：(−9) × (−5) → 同符号なので + ／ 絶対値の積 9×5=45 → +45
例：(−3) × (+8) → 異符号なので − ／ 絶対値の積 3×8=24 → −24
どんな数でも 0 をかけると積は 0 です。符号を考える前に、式の中に0があれば答えは0になります。
3つ以上の数の積：負の符号の数を数える
3つ以上の数をかけるときも、ルールは「同符号ペアごとに＋、異符号ペアごとに−」なのですが、もっと簡単な方法があります。
- 負の数が 偶数個（0個・2個・4個…） → 答えは ＋
- 負の数が 奇数個（1個・3個・5個…） → 答えは −
例1：(+2)×(−3)×(+4) ── 負の数1個（奇数）→ − ／ 絶対値積 2×3×4=24 → −24
例2：(−2)×(−3)×(+4) ── 負の数2個（偶数）→ + ／ 絶対値積 2×3×4=24 → +24
例3：(−2)×(−3)×(−4) ── 負の数3個（奇数）→ − ／ 絶対値積 2×3×4=24 → −24
3つの法則（小学校から続く）
正負の乗法でも次の法則が成り立ちます：
- 交換法則：a × b ＝ b × a
- 結合法則：(a × b) × c ＝ a × (b × c)
- 分配法則：a × (b + c) ＝ a × b + a × c
これらを使って計算を楽にできます。例えば計算の 順番を入れ替えてキリの良い数を作る：
例：(+25)×(−7)×(−4) = (+25)×(−4)×(−7) = (−100)×(−7) = +700
※ 25×4=100 を先にやれば暗算しやすい
練習問題
- (+4) × (+6)
- (−5) × (+8)
- (+9) × (−3)
- (−7) × (−6)
- (−12) × 0
答えを見る
(1) 同符号 → +、絶対値積24 → +24
(2) 異符号 → −、絶対値積40 → −40
(3) 異符号 → −、絶対値積27 → −27
(4) 同符号 → +、絶対値積42 → +42
(5) どんな数でも 0 をかけたら 0
- (−1) × (+9)
- (−1) × (−12)
- −(−8)
- −(+5)
答えを見る
(1) −9
(2) +12
(3) −(−8) は (−1)×(−8) と同じ → +8
(4) −(+5) は (−1)×(+5) と同じ → −5
- (−2) × (+3) × (−4)
- (−1) × (−2) × (−3)
- (+5) × (−4) × (−2) × (+3)
答えを見る
(1) 負の数2個（偶数）→ +、絶対値積 2×3×4=24 → +24
(2) 負の数3個（奇数）→ −、絶対値積 1×2×3=6 → −6
(3) 負の数2個（偶数）→ +、絶対値積 5×4×2×3=120 → +120
(−25) × (+7) × (−4)
答えを見る
(−25)×(−4) を先に計算するとキリが良い。
(−25)×(−4) = +100、それに (+7) をかけて → +700
負の数2個（偶数）なので符号は+、絶対値の積25×7×4=700。
まとめ
- 2つの数の乗法：同符号→＋、異符号→−。絶対値は普通のかけ算。
- 東西の移動で見ると、正負の乗法は「向き」と「時間の前後」を組み合わせた計算として理解できる。
- −1をかけることは、符号を反対にすること。
- 3つ以上の数の積は、負の数の個数で符号が決まる：偶数個→＋、奇数個→−。
- 0が1つでもかかっていれば、積は 0。
- 交換・結合・分配の3法則は正負の数でも成立。
- 計算しやすい順序に組み替えて、暗算しやすい数を作るとミスが減る。