中学生の学習ノート教科書をもう一段くわしく
中1数学｜1章 正負の数 8/9

累乗と除法・逆数 ── 指数の意味と「割る＝逆数をかける」

同じ数を何度もかけるとき使う 累乗（指数）と、わり算をかけ算に変える 逆数。この2つは中学数学のいたるところで登場する基本ツール。今回は (−3)2 と −32 の違い や、分数による割り算の扱いなど、つまずきポイントもあわせて整理します。

累乗（るいじょう）── 同じ数を何度もかける

用語
累乗（るいじょう）
同じ数を何度もかけたものを、右上に小さい数（指数）を書いて表す。
例：2 × 2 ＝ 22（読み：「2の2乗」）
3 × 3 × 3 ＝ 33（読み：「3の3乗」）
5 × 5 × 5 × 5 ＝ 54（読み：「5の4乗」）

右上の小さい数を 指数（しすう）といいます。「何回かけたか」の回数を表します。

指数は「かける個数」

24 は「2を4回かける」ではなく、正確には 2を4個かけるという意味です。つまり 2×2×2×2。最初の2を1回目として数えるので、かけ算の記号は3つになります。

2乗・3乗の特別な読み方

  • 2乗 ＝ 平方（へいほう）　例：32＝「3の2乗」または「3の平方」
  • 3乗 ＝ 立方（りっぽう）　例：33＝「3の3乗」または「3の立方」
  • 4乗以上は単に「4乗」「5乗」と呼ぶ

負の数の累乗：カッコの有無に注意

ここが中学生最大のつまずきポイント。次の2つは 意味がまったく違います。

(−3)2 と −32 は別物！
  • (−3)2　＝ (−3) × (−3) ＝ +9　── −3を2回かける
  • −32　＝ −(3 × 3) ＝ −9　── 32=9 にマイナスをつける

違いはカッコ。カッコがあれば、中身全体が累乗される。カッコがなければ 数字部分だけ。

カッコ1つで結果が変わる (−3)2 中の (−3) を 2回かける = (−3) × (−3) = 同符号 → +、3×3=9 ＝ +9 −32 3 を 2回かけてから − = −(3 × 3) = −9 ＝ −9
図1：カッコの有無で答えが変わる

負の数の累乗の符号

負の数を カッコつきで累乗 したときの符号は、指数（何乗するか）で決まります。

  • (−2)2 ＝ +4　── 指数2（偶数）→ +
  • (−2)3 ＝ −8　── 指数3（奇数）→ −
  • (−2)4 ＝ +16　── 指数4（偶数）→ +
  • (−2)5 ＝ −32　── 指数5（奇数）→ −

負の数の累乗：指数が偶数なら＋、奇数なら−。前回の「負の数の個数」と同じロジックです。

除法（わり算）── 逆数を使ってかけ算に変える

除法は、教科書では 乗法の逆の計算として考えます。たとえば (+6)÷(+3) は、「何に +3 をかけると +6 になるか」を求める計算です。

わり算を□で見る

(+6)÷(+3) は、□×(+3)=+6 の □ を求める計算 → +2

(+6)÷(−3) は、□×(−3)=+6 の □ を求める計算 → −2

(−6)÷(−3) は、□×(−3)=−6 の □ を求める計算 → +2

用語
逆数（ぎゃくすう）
かけたら 1になるもう1つの数。
例：3 の逆数は 1/3（3 × 1/3 = 1）
　　 −5 の逆数は −1/5（−5 × (−1/5) = 1）
　　 2/3 の逆数は 3/2（2/3 × 3/2 = 1、分数は分母分子をひっくり返す）
除法のルール
割る ＝ 逆数をかける

a ÷ b = a × (b の逆数)

これにより、すべての除法は乗法に変身します。前回の乗法ルールがそのまま使えます。

正負の数の除法の符号

逆数をかけることになるので、符号のルールは乗法と同じ。

  • (+12) ÷ (+4) ＝ +3　── 同符号 → +
  • (−12) ÷ (−4) ＝ +3　── 同符号 → +
  • (+12) ÷ (−4) ＝ −3　── 異符号 → −
  • (−12) ÷ (+4) ＝ −3　── 異符号 → −

分数の割り算

分数で割るときは、特に「逆数をかける」が活きます。

例：(−6) ÷ (2/3)

2/3 の逆数 3/2 をかけ算に

　 = (−6) × (3/2)

　 = −(6×3/2) = −18/2 = −9

0で割ることはできない
  • 0を割ることはできる。例：0÷(+5)=0、0÷(−5)=0。
  • 0には逆数が存在しない（0 × どんな数 = 0 だから、1にはならない）。
  • そのため、0で割る計算はしないのが数学のルール。例：5 ÷ 0、0 ÷ 0 は答えなし。

練習問題

問題1（累乗）
次を計算しなさい。
  1. 24
  2. (−5)2
  3. −52
  4. (−2)3
  5. (−1)10
答えを見る

(1) 2×2×2×2 = 16

(2) (−5)×(−5) = +25

(3) −(5×5) = −25　※ (2)と区別！

(4) (−2)×(−2)×(−2) = −8（指数3＝奇数 → −）

(5) 指数10＝偶数 → +、絶対値は110=1 → +1

問題2（除法）
次を計算しなさい。
  1. (+24) ÷ (+6)
  2. (−45) ÷ (−9)
  3. (+30) ÷ (−5)
  4. (−18) ÷ (+3)
  5. (−12) ÷ (3/4)
答えを見る

(1) 同符号 → +、24÷6=4 → +4

(2) 同符号 → +、45÷9=5 → +5

(3) 異符号 → −、30÷5=6 → −6

(4) 異符号 → −、18÷3=6 → −6

(5) (−12)×(4/3) = −16 → −16

問題3（0と除法）
次の計算ができるか判断し、できるものは答えを求めなさい。
  1. 0 ÷ (+4)
  2. 0 ÷ (−7)
  3. (+4) ÷ 0
  4. 0 ÷ 0
答えを見る

(1) 0。0を0でない数で割ることはできる。

(2) 0。符号に関係なく、0÷a=0（ただし a≠0）。

(3) できない。0で割っている。

(4) できない。0で割っている。

問題4（逆数）
次の数の逆数を答えなさい。
  1. 5
  2. −4
  3. 3/8
  4. −2/7
答えを見る

(1) 1/5　(2) −1/4　(3) 8/3　(4) −7/2

※ 整数は分母1の分数として見て、ひっくり返す。負の数の逆数も負のまま。

まとめ

  • 累乗＝同じ数を何度もかける表記。右上の数を 指数と呼ぶ。
  • (−3)2=+9 と −32=−9 はカッコの有無で違う。
  • 負の数の累乗：指数が 偶数なら＋、奇数なら−。
  • 逆数＝かけたら1になる数。分数は分母分子をひっくり返す。
  • 除法は 逆数をかけるに変えれば、乗法と同じルールで計算できる。
  • 0を割ることはできるが、0で割ることはできない（0には逆数がない）。

関連

前の記事1章 7/9：正負の数の乗法 次の記事1章 9/9：四則の混じった計算と正負の数の利用
← 中1数学のロードマップへ戻る