かっこを含む方程式
カッコがあれば、分配法則でカッコをはずすのが第一歩。
分配法則でカッコをはずす：3x − 6 = 12
移項：3x = 12 + 6 = 18
両辺÷3：x = 6
両辺ともカッコをはずす：2x + 10 = 5x − 20
移項：2x − 5x = −20 − 10 → −3x = −30
両辺÷(−3)：x = 10
分数を含む方程式：分母を払う
分数のままだと計算が面倒。両辺に分母の最小公倍数をかけて、分数を消すのが定番テクニック。これを 「分母を払う」 といいます。
等式の性質③（両辺に同じ数をかけてもよい）を使うので、解は変わらない。
分母 2 を払うため、両辺に2をかける
(x/2)×2 + 3×2 = 7×2
x + 6 = 14
移項：x = 14 − 6 = 8
分母 3 と 4 の最小公倍数 12 を両辺にかける
(x/3)×12 + (x/4)×12 = 7×12
4x + 3x = 84
7x = 84 → x = 12
- 分母を払うときは すべての項に同じ数をかける。
例：x/3 + 5 = 8 で、両辺に3をかけるなら、左辺の +5 にも3をかけて +15。x + 15 = 24。 - 分数の項にだけかけるのはNG（等式が崩れる）。
小数を含む方程式：10倍・100倍する
小数のままだと計算ミスしやすい。両辺を10倍・100倍して整数に変身させると安全。
小数第1位までなので、両辺を10倍
3x + 12 = 5x
移項：3x − 5x = −12 → −2x = −12
両辺÷(−2)：x = 6
小数第2位まであるので、両辺を100倍
5x − 30 = 10
移項：5x = 10 + 30 = 40 → x = 8
3パターンを混ぜる場合
分数も小数もカッコも入っている方程式も、1つずつ前処理すれば解けます。基本の流れ：
- 分数 ── 分母を払う（最小公倍数をかける）
- 小数 ── 10倍・100倍で整数化
- かっこ ── 分配法則ではずす
- 移項 → 整理 → 係数で割る
分母 3 と 4 の最小公倍数 12 を両辺にかける
12 × (x+2)/3 = 12 × (2x−1)/4
4(x+2) = 3(2x−1)
カッコを分配ではずす：4x + 8 = 6x − 3
移項：4x − 6x = −3 − 8 → −2x = −11
両辺÷(−2)：x = 11/2（=5.5）
- (x+2)/3 に12をかけるとき、分子全体（x+2）に4がかかる。x のところだけ4をかけるのはNG。
- 分子に2項以上ある場合は、必ずカッコでくくって整理してから掛け算する。
複雑な方程式を基本形に戻す
- かっこがある式は、分配法則でかっこを外してから同類項をまとめる。
- 分数を含む式は、すべての分母の最小公倍数を両辺にかけて分母を払う。
- 小数を含む式は、10倍・100倍して整数の方程式に直す。
- 前処理をしたあとは、移項して ax=b の形にする。最後に元の式で確認する。
- 両辺のすべての項に同じ数をかける。分数の項だけにかけると等式が変わってしまう。
- 分子が2項以上なら、必ずかっこを付けてからかける。
練習問題
- 2(x + 3) = 14
- 3(x − 1) = x + 7
- 5(x − 2) = 2(x + 4)
答えを見る
(1) 2x+6=14 → 2x=8 → x = 4
(2) 3x−3=x+7 → 2x=10 → x = 5
(3) 5x−10=2x+8 → 3x=18 → x = 6
- x/2 = 5
- x/3 + 4 = 9
- x/2 − x/3 = 1
答えを見る
(1) 両辺×2 → x = 10
(2) 両辺×3 → x+12=27 → x = 15
(3) 両辺×6 → 3x−2x=6 → x = 6
- 0.5x + 2 = 7
- 0.2x − 0.6 = 1.4
答えを見る
(1) 両辺×10 → 5x+20=70 → 5x=50 → x = 10
(2) 両辺×10 → 2x−6=14 → 2x=20 → x = 10
まとめ
- かっこ：分配法則ではずす。−( )は符号反転。
- 分数：両辺に分母の 最小公倍数 をかけて整数化。
- 小数：両辺を 10倍・100倍して整数化。
- 分数や小数を払うときは、すべての項に同じ数をかける。一部だけにかけるのはNG。
- 前処理で整数になれば、3章3/6 で学んだ基本の3ステップで解ける。