比とは：2つの数の関係
用語（小学校で習った）
比（ひ）
2つ以上の量の 大きさの関係 を表す書き方。
例：a と b の比は a : b（読み方は「aたいb」）
意味：a と b がどれくらいの割合で並んでいるか。
例：男子15人、女子10人の比は 15 : 10 ＝ 3 : 2（最簡比に直す）
例：a と b の比は a : b（読み方は「aたいb」）
意味：a と b がどれくらいの割合で並んでいるか。
例：男子15人、女子10人の比は 15 : 10 ＝ 3 : 2（最簡比に直す）
比の値（ひのあたい）
比 a:b は、分数 a/bと同じ意味。これを 比の値といいます。
- 2:3 の比の値 ＝ 2/3
- 5:10 の比の値 ＝ 5/10 ＝ 1/2
- 3:2 の比の値 ＝ 3/2
2つの比が等しいかどうかは、比の値が等しいかどうかで判定できます。
比例式とは
用語
比例式（ひれいしき）
2つの比が等しいことを表す式。
例：2 : 3 ＝ 4 : 6 （読み方：「2たい3 ＝ 4たい6」）
a : b ＝ c : d
例：2 : 3 ＝ 4 : 6 （読み方：「2たい3 ＝ 4たい6」）
a : b ＝ c : d
比例式の性質：外項の積 ＝ 内項の積
公式
比例式の性質
a : b ＝ c : d ⇔ a × d ＝ b × c
2つの比が等しいなら、外側どうしの積（a × d）と 内側どうしの積（b × c）が等しい。これを使えば、未知数を含む比例式が解ける。
なぜそうなる？ ── 比の値が等しいということは a/b ＝ c/d。両辺に bd をかけると ad ＝ bc になります。
比例式を解く
比例式の中に未知数 x があれば、外項の積＝内項の積で方程式に変換し、解きます。
例1：x : 4 ＝ 6 : 8
外項の積 ＝ 内項の積：x × 8 ＝ 4 × 6
8x ＝ 24
x ＝ 3
例2：3 : x ＝ 2 : 10
3 × 10 ＝ x × 2
30 ＝ 2x → x ＝ 15
例3：(x + 1) : 6 ＝ 2 : 3
3(x + 1) ＝ 12
3x + 3 ＝ 12 → 3x ＝ 9 → x ＝ 3
身近な例で考える
例題：レシピで、小麦粉と砂糖の比は 4:1。砂糖を 30g 使うとき、小麦粉は何 g？
小麦粉を x g とおく
x : 30 ＝ 4 : 1
x × 1 ＝ 30 × 4
x ＝ 120
答え：小麦粉 120g
例題：地図で、実際の距離 200m は地図上で 5cm。地図上 12cm の距離は実際何 m？
実際の距離を x m とおく
5 : 200 ＝ 12 : x
5x ＝ 200 × 12
5x ＝ 2400 → x ＝ 480
答え：480m
つまずきポイント：単位を揃える
- 比例式では、対応する量の順序をそろえる。
例：地図の長さ : 実際の距離 ＝ 地図の長さ : 実際の距離。 - 同じ種類の量どうしを直接比べるときは、単位をそろえてから比をとる。
- 「a : b」と「c : d」は 対応する量どうしの比であることを確認。
例：(小麦粉) : (砂糖) ＝ (小麦粉) : (砂糖) になっているか。
練習問題
問題1（基本）
次の比例式の x を求めなさい。
- x : 5 ＝ 6 : 10
- 2 : 3 ＝ 8 : x
- x : 4 ＝ 9 : 12
答えを見る
(1) 10x = 30 → x = 3
(2) 2x = 24 → x = 12
(3) 12x = 36 → x = 3
問題2（カッコ含む）
次を解きなさい。
- (x − 2) : 3 ＝ 5 : 1
- (x + 1) : 4 ＝ 3 : 2
答えを見る
(1) x − 2 = 15 → x = 17
(2) 2(x+1) = 12 → x+1 = 6 → x = 5
問題3（文章題）
兄と弟がカードを 70枚 持っている。兄と弟のカード数の比は 4:3 のとき、兄は何枚？
答えを見る
① 兄を x 枚とおく → 弟は (70 − x) 枚
② x : (70 − x) ＝ 4 : 3
③ 3x = 4(70 − x) → 3x = 280 − 4x → 7x = 280 → x = 40
答え：兄40枚（弟30枚）
まとめ ── 3章のおさらい
- 比例式＝2つの比が等しいことを表す式。a:b = c:d。
- 外項の積 ＝ 内項の積（ad ＝ bc）で解く。
- レシピ・地図・割合など、現実の問題でよく使われる。
- 3章の流れ：方程式とは → 等式の性質 → 移項 → いろいろな方程式 → 文章題 → 比例式。
- 次章「4章 比例と反比例」では、関数として比例の関係を学ぶ。