反比例の定義
用語
反比例（はんぴれい）
y が x の関数で、x の値が2倍、3倍、…になると、y の値が 1/2倍、1/3倍、… になる関係。「y は x に反比例する」という。
公式
反比例の式
y ＝ a / x（または xy ＝ a）
a は 比例定数（反比例でも同じ呼び方）。 0 でない決まった数。
反比例の例：ピザを人数で分ける
12枚のピザを x 人で分けると1人 y 枚
1人 → 12枚（x=1, y=12）
2人 → 6枚（x=2, y=6）：人数が2倍 → 1人分は 1/2倍
3人 → 4枚（x=3, y=4）：人数が3倍 → 1人分は 1/3倍
4人 → 3枚（x=4, y=3）
式：y = 12/x （または xy = 12）
反比例の3つの特徴
比例と反比例の対比
反比例の式の求め方
比例とほぼ同じ。違いは a = xy（積）で求めること。
例：y は x に反比例し、x = 4 のとき y = 6。式は？
a = xy = 4×6 = 24
y = 24/x
例：y は x に反比例し、x = 3 のとき y = −5。
a = xy = 3×(−5) = −15
y = −15/x
つまずきポイント
- 「比例と反比例」を混同しない：見分け方は「2倍にしたとき y がどうなるか」。同じ倍率なら比例、逆数倍なら反比例。
- x = 0 のとき y は存在しない：分母が0になるため。比例とは違って原点を通らない。
- y も0にはならない：xy = a（a≠0）なので、y = 0 だと a = 0 になってしまう。
練習問題
問題1（反比例の判別）
次のうち反比例の関係はどれか。
- 1個 80円のリンゴ x 個の代金 y 円
- 距離 60km を時速 x km で進むときの時間 y 時間
- 1辺 x cm の正方形の面積 y cm²
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(1) y = 80x → 比例
(2) y = 60/x → 反比例 ✓ （速さが2倍 → 時間は半分）
(3) y = x² → 比例でも反比例でもない（2次の関係）
問題2（式を求める）
y は x に反比例する。次の場合、式を求めなさい。
- x = 3 のとき y = 8
- x = 5 のとき y = −4
- x = 1/2 のとき y = 6
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(1) a = 3×8 = 24 → y = 24/x
(2) a = 5×(−4) = −20 → y = −20/x
(3) a = (1/2)×6 = 3 → y = 3/x
問題3（応用）
y は x に反比例し、x = 4 のとき y = 9。x = 6 のときの y を求めなさい。
答えを見る
a = 4×9 = 36 → y = 36/x
x=6 → y = 36/6 = 6
まとめ
- 反比例：x が2倍、3倍 → y は 1/2倍、1/3倍。
- 式は y = a/x（または xy = a）。
- 3つの特徴：① 逆数倍 ② xy が一定 ③ x=0 不可。
- 反比例の式を求めるときは a = xy（積）で計算。
- 比例 y/x = a と反比例 xy = a は対になっている。