双曲線（そうきょくせん）とは
用語
双曲線（そうきょくせん）
反比例 y = a/x のグラフ。2つの離れた曲線でできている。
形：x → 大きくなれば y → 0 に近づく（しかし0にはならない）。x → 0 に近づけば y → 大きくなる。
形：x → 大きくなれば y → 0 に近づく（しかし0にはならない）。x → 0 に近づけば y → 大きくなる。
双曲線の特徴
y = a/x のグラフ
双曲線の3つの特徴
- 2本の曲線でできる ── x > 0 の側と x < 0 の側に分かれて存在
- 原点も軸も通らない ── x軸（y=0）にも y軸（x=0）にもどこまでも近づくが触れない
- a の符号で象限が決まる ── a>0 なら第1・第3象限、a<0 なら第2・第4象限
a の符号で2パターン
反比例のグラフの描き方
双曲線を描く手順
- 対応表を作る（x にいろいろな値を入れて y を計算、x ≠ 0）
- 各点をプロット
- 2つのグループに分けてなめらかな曲線で結ぶ（直線で結ばない）
- 軸には触れない（限りなく近づくだけ）
例：y = 12/x の対応表
x: −12, −6, −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, 6, 12
y: −1, −2, −3, −4, −6, −12, 12, 6, 4, 3, 2, 1
→ x < 0 と x > 0 の2つに分けて、それぞれなめらかな曲線で結ぶ
つまずきポイント
- 2つの曲線をつなげない：x = 0 では y が定義されないので、グラフは 左右に分かれた2本。直線で結んだり一筆書きしたりしない。
- 軸に触れない：曲線は x軸・y軸に 限りなく近づくが、決して触れない。
- x が大きくなるほど y は0に近づく：x = 100 なら y = 0.12（とても小さい）、x = 1000 なら y = 0.012。0にはならない。
練習問題
問題1（点を求める）
y = 6/x について、次の表を埋めなさい。
x: −6, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 6
y: ?
答えを見る
x: −6, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 6
y: −1, −2, −3, −6, 6, 3, 2, 1
これらの点を打って、x < 0 と x > 0 で2つの曲線に分けて結ぶ。
問題2（象限を答える）
次の反比例のグラフは、どの象限を通るか。
- y = 4/x
- y = −10/x
答えを見る
(1) a = 4 > 0 → 第1象限と第3象限
(2) a = −10 < 0 → 第2象限と第4象限
問題3（記述）
反比例 y = a/x のグラフが、x軸とも y軸とも交わらない理由を答えなさい。
答えを見る
解答例：x軸上の点は y = 0 だが、反比例 y = a/x では比例定数 a は 0 でないので、y = 0 になる点はない。 また y軸上の点は x = 0 だが、y = a/x で x = 0 だと分母が0になるので y は定義できず、グラフは y軸とも交わらない。
まとめ
- 反比例 y = a/x のグラフは 双曲線（2本の曲線）。
- 原点も軸も通らない。軸には限りなく近づくだけ。
- a > 0 → 第1・第3象限、a < 0 → 第2・第4象限。
- 描き方：対応表 → プロット → 2つに分けてなめらかに結ぶ。