円の用語
用語
円の各部
- 中心 O：円の真ん中の点
- 半径：中心から円周上の点までの距離
- 直径：円の中心を通る両端が円周上の線分（半径の2倍）
- 弧（こ）：円周の一部分。記号 ⌒AB（弧AB）
- 弦（げん）：円周上の2点を結ぶ線分。AB
- 中心角：弧の両端と中心を結ぶ2本の半径がつくる角
円の周の長さと面積（小学校の復習）
公式
円の周と面積
周の長さ＝2πr
面積＝πr²
r は半径、π（パイ）は円周率（≒3.14159…）。中学では π を そのまま記号として残すのが基本。
おうぎ形（おうぎがた）
用語
おうぎ形
円の中心から2本の半径と、その間の弧で 囲まれた図形。 まるで日本のおうぎ（扇）の形。
おうぎ形の弧の長さと面積
おうぎ形は 円の一部分。中心角 a° のおうぎ形は、円全体（中心角 360°）の a/360 倍の大きさになります。
公式
おうぎ形の弧の長さ・面積
弧の長さ ＝ 2πr × (a/360)
面積 ＝ πr² × (a/360)
r は半径、a は中心角の度数。「円全体の (a/360) 倍」と覚えるのがコツ。
例題で慣れる
例：半径 6 cm、中心角 120° のおうぎ形
弧の長さ ＝ 2 × π × 6 × (120/360)
＝ 12π × (1/3) ＝ 4π cm
面積 ＝ π × 6² × (120/360)
＝ 36π × (1/3) ＝ 12π cm²
例：半径 10 cm、中心角 90° のおうぎ形（円の1/4）
弧の長さ ＝ 2 × π × 10 × (90/360) ＝ 20π × (1/4) ＝ 5π cm
面積 ＝ π × 100 × (1/4) ＝ 25π cm²
つまずきポイント
- π はそのまま残す：中学では「4π cm」のように π 付きで答える。3.14をかけて小数にしない。
- 360で約分：120/360 = 1/3 のように、a/360 は早めに約分すると計算が楽。
- 半径か直径か：問題が「直径10cm」と書いてあれば、半径は5cm。半径と直径を混同しない。
練習問題
問題1（円）
半径 5 cm の円の、周の長さと面積を求めなさい。π は残したままで。
答えを見る
周の長さ ＝ 2π × 5 ＝ 10π cm
面積 ＝ π × 5² ＝ 25π cm²
問題2（おうぎ形）
次のおうぎ形の弧の長さと面積を求めなさい。
- 半径 9 cm、中心角 60°
- 半径 4 cm、中心角 270°
答えを見る
(1) 弧 ＝ 2π×9×(60/360) ＝ 18π × (1/6) ＝ 3π cm ／ 面積 ＝ π×81×(1/6) ＝ 27π/2 cm²（=13.5π cm²）
(2) 弧 ＝ 2π×4×(270/360) ＝ 8π × (3/4) ＝ 6π cm ／ 面積 ＝ π×16×(3/4) ＝ 12π cm²
問題3（応用）
半径 12 cm のおうぎ形の弧の長さが 8π cm のとき、中心角の大きさは何度か。
答えを見る
弧 ＝ 2π × 12 × (a/360) ＝ 8π
24π × (a/360) = 8π → (a/360) = 1/3 → a = 120°
まとめ
- 円の用語：中心・半径・直径・弧・弦・中心角。
- 円の公式：周の長さ ＝ 2πr、面積 ＝ πr²。
- おうぎ形は円の一部。中心角 a° なら円全体の (a/360) 倍。
- おうぎ形の弧 ＝ 2πr × (a/360)、面積 ＝ πr² × (a/360)。
- 中学では π はそのまま残して答える。