垂直二等分線とは
用語
垂直二等分線（すいちょくにとうぶんせん）
線分を 垂直に2等分する直線。線分 AB の垂直二等分線は、AB の 中点を通り、AB に 垂直に交わる。
大事な性質
線分 AB の垂直二等分線上のすべての点は、A と B から等距離
逆に、A と B から等距離の点は、すべて AB の垂直二等分線上にある。
この「2点から等距離」の性質が、コンパスを使った作図の カギです。
作図の手順
3ステップ
- A を中心に、半径 AB の半分より 少し大きめの半径で円弧を描く
- B を中心に、同じ半径で円弧を描く
- 2つの円弧の交点を P、Q とすると、直線 PQ が垂直二等分線。直線 PQ は AB の中点を通り、AB に垂直。
なぜこの作図でうまくいく？
2つの円弧の半径を 同じにしたところがポイント。
- P は A と B から 同じ距離にある（PA = PB、両方とも円弧の半径）
- Q も同様に PA = PB
- P と Q は両方とも 「A と B から等距離の点」。
性質より、これらは AB の垂直二等分線上にある。 - P と Q を結べば、それが 垂直二等分線そのもの。
つまずきポイント
- 同じ半径で2回描く：A と B の円弧の半径は 必ず同じ。違うとうまくいかない。
- 半径は AB の半分より大きく：半分以下だと2つの円弧が交わらない。
- 定規で測ってはダメ：作図問題ではコンパスと定規（目盛りのない）だけ使う。長さを測ったらNG。
- 線を残す：テストでは作図に使った円弧や補助線を 消さずに残すのがルール。
応用：線分の中点を求める
垂直二等分線が引けると、おまけに 線分 AB の中点もわかります。
垂直二等分線と AB の交点が中点だからです。「中点を作図せよ」と言われたら、垂直二等分線を引けばOK。
応用：2点から等距離の点を探す
「A 地点と B 地点から同じ距離にある場所はどこ？」── これは AB の垂直二等分線上のどこか。地図問題などで使えます。
なぜ垂直二等分線で等距離になるか
- 垂直二等分線は、線分ABの中点を通り、ABに垂直な直線。
- この直線上の点Pは、Aからの距離PAとBからの距離PBが等しい。
- 逆に、AとBから等距離にある点は、線分ABの垂直二等分線上にある。
- 作図では、AとBを中心に同じ半径の円弧を描き、交点どうしを結ぶ。
作図の注意
- 2つの円弧の半径は同じにする。半径が違うと、等距離の条件を表せない。
- 円弧の交点は線分ABの上下に2つ取ると、直線が安定して引ける。
練習問題
問題1（用語）
次の問いに答えなさい。
- 「垂直二等分線」とはどんな直線か答えなさい。
- 「線分 AB の垂直二等分線上の点 P」について、PA と PB の関係を答えなさい。
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(1) 線分を垂直に2等分する直線（中点を通り、線分に垂直）。
(2) PA ＝ PB（P は A と B から等距離）。
問題2（手順）
線分 AB の垂直二等分線を作図する手順を、3つのステップで答えなさい。
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① A を中心に、AB の半分より大きい半径で円弧を描く
② B を中心に、同じ半径で円弧を描く
③ 2つの円弧の交点を結ぶ直線が垂直二等分線
問題3（応用）
3点 A、B、C があり、すべての点から等距離にある点 P を求めたい。どうすればよいか説明しなさい。
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解答例：線分 AB の垂直二等分線上の点はすべて A と B から等距離。同様に線分 BC の垂直二等分線上の点はすべて B と C から等距離。この2本の垂直二等分線の 交点が、A・B・C のすべての点から等距離にある点 P になる。
※ この点 P は3点 A, B, C を通る円の中心（外接円の中心）でもある。
まとめ
- 垂直二等分線＝線分を垂直に2等分する直線。中点を通り、線分に垂直。
- 大事な性質：垂直二等分線上の点は、線分の 両端から等距離。
- 作図手順：両端を中心に 同じ半径の円弧 を描き、交点を結ぶ。
- 応用：中点を求める／2点から等距離の場所を探す。