角の二等分線
用語
角の二等分線
角を 2つの等しい角に分ける直線（または半直線）。
大事な性質
角の二等分線上の点は、角の2辺から等距離
点から辺までの距離は、点から辺に下ろした垂線の長さで考える。
作図手順
3ステップ
- O を中心に、適当な半径の円弧を描き、2辺との交点 P、Q を作る
- P と Q を中心に、同じ半径で2つの円弧を描き、その交点を R とする
- O と R を結ぶ直線（半直線）が 角の二等分線
点を通る垂線
2パターンあります：
- 直線上の点 P を通る垂線
- 直線外の点 P から下ろす垂線
パターン1：直線上の点を通る垂線
これは 180°の角の二等分と考えると同じ作図でできます。
手順（直線l上の点Pを通る垂線）
- P を中心に、適当な半径で円弧を描き、直線 l との交点 A、B をつくる（PA = PB の状態）
- A と B を中心に、同じ半径（PA より大きい）で円弧を描き、交点を C とする
- P と C を結ぶ直線が、l の P における垂線
パターン2：直線外の点から下ろす垂線
手順
- P を中心に、直線 l と 2点で交わる大きさの円弧を描く。交点 A、B を作る
- A と B を中心に、同じ半径で円弧を描き、交点を作る（P と反対側に作るのが分かりやすい）
- P と交点を結ぶ直線が 垂線。これが直線 l と垂直に交わる
3つの作図に共通する仕組み
気づいたかもしれませんが、3つの作図（垂直二等分線・角の二等分線・垂線）はすべて 「等距離」 の性質を使っています。
- 垂直二等分線：2点から等距離の点を見つける
- 角の二等分線：2辺から等距離の点を見つける
- 垂線：「2点から等距離」を応用
「コンパスは 同じ半径を作る道具」── この事実が「等距離」を生み出してくれるのです。
練習問題
問題1（用語）
次の問いに答えなさい。
- 角の二等分線の性質を答えなさい（角の2辺との関係）。
- 「コンパスと定規だけで」とはどういう意味か答えなさい。
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(1) 角の二等分線上の点は、角の2辺から等距離にある。
(2) 定規は 線を引くためだけに使い、長さを測らない（目盛りを使わない）。コンパスは円や円弧を描くために使う。
問題2（手順）
直線外の点 P から、直線 l に下ろす垂線の作図手順を3ステップで答えなさい。
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① P を中心に、l と2点（A、B）で交わる円弧を描く
② A と B を中心に、同じ半径で円弧を描き、その交点を作る
③ P と交点を結ぶ直線が l に垂直な垂線
問題3（記述）
「垂直二等分線」「角の二等分線」「垂線」の3つの作図に共通する仕組みを、自分のことばで説明しなさい。
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解答例：3つの作図はすべて、コンパスを使って 同じ半径の円弧を描くことで「等距離」の性質を使っている。垂直二等分線は2点から等距離の点を見つけ、角の二等分線は2辺から等距離の点を見つける。垂線は、点から直線への等距離の関係を応用したもの。コンパスが「同じ半径」を作れることが、これらの作図を可能にしている。
まとめ
- 角の二等分線：角の2辺から等距離。O→2辺の交点→2つの交点→R を結ぶ。
- 垂線（点を通る）：直線上の点なら「180°の二等分」、直線外の点なら「P を中心の円弧→交点を中心の円弧」。
- 3つの作図はすべて 「コンパスで等距離を作る」 という共通の原理。
- 作図のルール：定規は 長さを測らず、補助線は消さない。