図でつかむ
整数と平方根を比べるときは、整数を平方根の形に直してから中身を比べます。3 を √9 と見れば、√7 < √9 なので √7 < 3 と判断できます。
ルートの大小：中身で決まる
つまり、中身が大きいほうがルートも大きい。
中身：3 < 5
→ √3 < √5
中身：11 > 7
→ √11 > √7
整数とルートの比較 ── 整数を「ルート化」
整数とルートを比べるときは、整数を 2乗してルート化する。
3 を √化：3 = √9
7 < 9 だから √7 < √9
→ √7 < 3
4 = √16
15 < 16 → √15 < √16 = 4
→ √15 < 4
係数つきルート ── 全体を2乗にしてから
2√3 と 3√2 のように 係数がついた数の比較は、係数も中に取り込んでから大小を比べる。
2√3 = √(2² · 3) = √12
3√2 = √(3² · 2) = √18
12 < 18 → 2√3 < 3√2
4√2 = √(16·2) = √32
5 = √25
32 > 25 → 4√2 > 5
負のルート ── 大小が逆転
マイナスがつくと、絶対値の大きいほうが小さくなる（数直線で左にあるから）。
絶対値：√5 > √3
マイナスをつけると逆転：−√5 < −√3
- −2 と −3 で −3 のほうが小さいのと同じ。マイナスがつくと不等号が反転するイメージ。
- 数直線をイメージするとミスが減る。「ルート3 ≒ 1.73」「ルート5 ≒ 2.24」を覚えていると感覚的にもわかる。
整数部分の見つけ方
√n が整数 n₁ と n₂ の間にあるとき、n の整数部分は n₁。求め方は、n をはさむ2つの平方数を見つけること。
25 < 29 < 36 → √25 < √29 < √36
5 < √29 < 6
整数部分は 5
49 < 50 < 64 → 7 < √50 < 8
整数部分は 7
有理数と無理数
有理数：分数（整数 / 整数）で表せる数。例 3, −5, 1/2, 0.25。
無理数：分数で表せない数。例 √2, √3, π。
有理数 + 無理数 =「実数」。
√2、√3、√5 のような 平方数以外の整数のルートは、すべて無理数。小数で書くと 無限に続いて循環しない。
練習問題
- √10 と √13
- √6 と √2
- −√7 と −√11
答えを見る
(1) √10 < √13 (2) √6 > √2 (3) −√7 > −√11（マイナスは逆転）
- √14 と 4
- 5 と √24
- −3 と −√10
答えを見る
(1) √14 と √16 → √14 < 4
(2) √25 と √24 → 5 > √24
(3) −3 = −√9、−√10 のほうが絶対値大 → −3 > −√10
- 2√3 と √15
- 3√2 と 4
答えを見る
(1) 2√3 = √12、12 < 15 → 2√3 < √15
(2) 3√2 = √18、4 = √16、18 > 16 → 3√2 > 4
- √20
- √60
- √100
答えを見る
(1) 16 < 20 < 25 → 4
(2) 49 < 60 < 64 → 7
(3) √100 = 10（整数そのもの）
まとめ
- ルートどうしの大小は 中身の大小と同じ。
- 整数とルートを比べるときは、整数を √化（n = √(n²)）。
- 係数つきは a√b = √(a²·b) でルートにそろえる。
- マイナスは 絶対値の大きいほうが小さい（不等号反転）。
- 整数部分は はさむ平方数を見つけて求める。
- √2, √3, √5 など平方数以外の整数のルートは 無理数。