ルートの積 ── √a × √b = √(ab)
√2 × √3 = √(2·3) = √6
√5 × √7 = √35
√6 × √6 = √36 = 6 ← (√a)²=a の確認
ルートの商 ── √a ÷ √b = √(a/b)
√6 ÷ √2 = √(6/2) = √3
√50 ÷ √2 = √25 = 5
√(24/3) = √8 = 2√2（後述）
√(a²b) = a√b ── 中の平方数を外に
ルートの中に 2乗の因数があれば、外に出してしまうのがマナー。これでルートが「簡単な形」になる。
√(a²b) = √(a²) × √b
= a × √b （a ≧ 0 のとき）
= a√b
50 = 25·2 = 5²·2
→ √50 = 5√2
72 = 36·2 = 6²·2
→ √72 = 6√2
300 = 100·3 = 10²·3
→ √300 = 10√3
素因数分解で確実に
大きな数の√は 素因数分解すると、2乗ペアが見えやすい。
504 = 2 × 252 = 2 × 2 × 126 = 2² × 126
126 = 2 × 63 = 2 × 9 × 7 = 2 × 3² × 7
504 = 2² × 2 × 3² × 7 = 2² × 3² × 14
→ √504 = 2·3·√14 = 6√14
係数つきルートの積
係数どうし、ルートどうしで別々にかける。
係数：3 × 2 = 6
ルート：√2 × √5 = √10
→ 6√10
= √(6·8) = √48
48 = 16·3 = 4²·3
→ 4√3（先に簡単化を済ませてもOK）
- 答えに √8 を残さない。8 = 4·2 で 2√2 まで簡単化する。
- 「ルートの中に平方数が残っていない」が完成形。
- 同じく、係数の中にルートをかぶせない。3√4 → 3·2 = 6 のように、ルートの中身が平方数なら整数化する。
ルートの2乗（再確認）
(3√2)² = 3² × (√2)² = 9 × 2 = 18
(2√5)² = 4 × 5 = 20
20 × √3 = 20√3
平方根の乗除で使う形
- a,bが0以上なら √a×√b=√ab が使える。
- √a÷√b=√(a/b) は b>0 のときに使う。
- √の中に平方数があれば外へ出す。√72=√(36×2)=6√2。
- 係数付きの平方根は、係数どうし、√どうしを分けて計算する。
係数は3×2=6。√6×√15=√90=3√10。
答えは 18√10。
練習問題
- √3 × √7
- √10 × √2
- √24 ÷ √6
- √45 ÷ √5
答えを見る
(1) √21 (2) √20 = 2√5 (3) √4 = 2 (4) √9 = 3
- √8
- √12
- √48
- √98
- √200
答えを見る
(1) 2√2 (2) 2√3 (3) 4√3 (4) 7√2 (5) 10√2
- 2√3 × 3√5
- 4√2 × √6
- (2√3)²
- √18 × √8
答えを見る
(1) 6√15
(2) 4√12 = 4·2√3 = 8√3
(3) 4·3 = 12
(4) √144 = 12
まとめ
- ルートの積：√a × √b = √(ab)。中身どうしを掛けてまた √。
- ルートの商：√a ÷ √b = √(a/b)。
- ルートの簡単化：√(a²b) = a√b。中の平方数を外に。
- 大きな数は 素因数分解で2乗ペアを見つける。
- 答えに √8 のような未簡単化を残さない。