ルートの加減 ── 同じ √b どうしのみ
「√3」を共通の文字とみなして係数だけ足す
= (2 + 5)√3
= 7√3
= (4 − 1)√2 = 3√2
- √2 + √3 はそのまま。これ以上まとめられない。
- ×（誤）√2 + √3 = √5 ← 絶対に違う！
- 文字で言えば、x + y を 1 文字にできないのと同じ。√2 と √3 は別の「文字」と考える。
簡単化してから足す
一見違う中身でも、簡単化すると同じ √b になる場合は計算できる。これがポイント！
それぞれ簡単化：
√8 = 2√2、√18 = 3√2
→ 2√2 + 3√2 = 5√2
√27 = 3√3、√12 = 2√3、√48 = 4√3
= 3√3 + 2√3 − 4√3 = (3+2−4)√3 = √3
√50 = 5√2、√32 = 4√2、√2 = √2
= 5√2 − 4√2 + √2 = 2√2
有理化 ── 分母のルートを消す
分母がルートのまま残るのは、未完成。これを次のように直す：
1/√2 の分母分子に √2 をかける：
1/√2 × √2/√2 = √2 / (√2)²
= √2 / 2
= 1/√3 × √3/√3 = √3 / 3
= 5/√7 × √7/√7 = 5√7 / 7
= 3/(2√2) × √2/√2 = 3√2 / (2·2)
= 3√2 / 4
計算の最後は必ず有理化＋簡単化
答えに分母 √ や中身に平方数が残らないようにするのが 最終形。
分母 √12 をまず簡単化：√12 = 2√3
6/(2√3) = 3/√3 = 3√3/3 = √3
最終形までスムーズ。
- 1/√8 の分母 √8 = 2√2 と簡単化してから有理化すると、少ない数で済む。
- 1/√8 を直接 √8 倍すると 1·√8 / 8 = √8/8 = 2√2/8 = √2/4。同じ結果だが回り道。
- 先に簡単化してから有理化する習慣が、計算量を減らす。
平方根の加減は文字式と同じ感覚
- √の中が同じものだけ加減できる。2√3+5√3=7√3。
- √12のような数は、先に 2√3 のように簡単にしてから同類項を探す。
- 分母に√があるときは、分母と同じ√を分子分母にかけて有理化する。
- 有理化後も約分できる場合があるので、最後に係数を整理する。
√12=2√3、√27=3√3。したがって 2√3+3√3−√3=4√3。
練習問題
- 3√2 + 5√2
- 7√5 − 4√5
- √3 + √12
- √50 − √8
- √75 + √48 − √27
答えを見る
(1) 8√2
(2) 3√5
(3) √3 + 2√3 = 3√3
(4) 5√2 − 2√2 = 3√2
(5) 5√3 + 4√3 − 3√3 = 6√3
- 1/√5
- 2/√3
- 4/√8
- 5/(3√2)
答えを見る
(1) √5/5
(2) 2√3/3
(3) √8 = 2√2 と簡単化 → 4/(2√2) = 2/√2 = 2√2/2 = √2
(4) 5/(3√2) × √2/√2 = 5√2/6
- √2 + 1/√2
- √12 − 3/√3
答えを見る
(1) 1/√2 = √2/2。√2 + √2/2 = 2√2/2 + √2/2 = 3√2/2
(2) √12 = 2√3、3/√3 = √3。2√3 − √3 = √3
まとめ
- ルートの加減は 同じ √b どうしのみ。同類項のようにまとめる。
- 違う見た目でも 簡単化すると同じになる場合は計算できる。
- 分母にルートが残ったら 有理化：分母分子に同じ √ をかける。
- 簡単化 → 有理化 の順番が計算をラクにする。
- 最終形：ルートの中に平方数なし、分母にルートなし。