乗法公式とルート ── 展開してから整理
公式 (a+b)² = a² + 2ab + b² を適用
= (√3)² + 2·√3·√2 + (√2)²
= 3 + 2√6 + 2
= 5 + 2√6
= 7 − 2√14 + 2
= 9 − 2√14
和と差の積：(a+b)(a−b) = a² − b²
= (√5)² − (√3)² = 5 − 3 = 2
中央のルートが消える。
(x + a)(x + b) パターン：
= (√6)² + (2 − 1)√6 + 2·(−1)
= 6 + √6 − 2 = 4 + √6
式の値 ── 因数分解してから代入
x = √2 + 1 のとき x² − 2x のような式の値は、x − 1 = √2 と移項したり、因数分解してから代入するのがコツ。
x − 1 = √2 → 両辺を2乗 → (x − 1)² = 2
x² − 2x + 1 = 2 → x² − 2x = 1
→ 1
x² = 3
x² + x = 3 + √3
→ 3 + √3
対称式の利用 ── x+y と xy
x + y と xy がわかれば、x² + y² や x² − xy + y² も計算できる。
x² + y² = (x + y)² − 2xy
= 5² − 2·3 = 25 − 6 = 19
xy = (√3 + √2)(√3 − √2) = 3 − 2 = 1
近似値の利用
√2 ≒ 1.414、√3 ≒ 1.732、√5 ≒ 2.236 を覚えておくと、計算問題でも数値の見当がつく。
√50 = 5√2 ≒ 5 × 1.414 = 7.07
1 + 1.732 = 2.732
整数部分と小数部分
√7 ≒ 2.6457... のように、ルートの値は 整数部分 + 小数部分に分けられる。
4 < 7 < 9 → 2 < √7 < 3
→ 整数部分 a = 2、小数部分 b = √7 − 2
b = √7 − 2 → b² = (√7 − 2)² = 7 − 4√7 + 4 = 11 − 4√7
b² + 4b = 11 − 4√7 + 4(√7 − 2) = 11 − 4√7 + 4√7 − 8 = 3
- (√3 + √2)² で 2·√3·√2 = 2√6（中の数を掛ける）。
- 2 を忘れて √6 にしない。2倍の積が乗法公式の正体。
- 結果は「整数 ± 2√(ab)」の形になることが多い。
この章でつまずきやすいところ
平方根の応用は、乗法公式を使った展開や式の値、整数部分と小数部分など、ひと工夫いる場面が連続します。本文を読んだり問題を解いたりしている途中で「あれ、ここどうするんだっけ」と止まりやすい瞬間を、先に押さえておきましょう。
(√a+√b)² の中央項の 2 を落としてしまう
- つまずく場面：(√3 + √2)² を展開する場面で、両端の (√3)² と (√2)² だけ書いて、真ん中の項を √3·√2 = √6 と書きそうになる瞬間に迷いが起きやすいです。本文の「2倍の積」という言葉が頭から抜けやすい場面です。
- 克服のコツ：因果関係で押さえます。(a+b)² = a² + 2ab + b² の 2ab がそのままルートに移ると 2√(ab) になる、と公式の形と結びつけて読みます。中央項は必ず「整数 ± 2√(中の積)」の形になるはず、と見直すクセをつけると落としにくくなります。
- ミニ例：(√3 + √2)² の中央項は 2·√3·√2 = 2√6。全体では 3 + 2√6 + 2 = 5 + 2√6。中央の 2 を忘れて 3 + √6 + 2 としないようにします。
和と差の積なのに中央項まで書いてしまう
- つまずく場面：(√5 + √3)(√5 − √3) のような形を見たとき、直前に (√a+√b)² を練習していた流れで、つい中央項を書き足したくなる場面があります。「ルートが消える形」と「中央項が出る形」がごちゃつく瞬間です。
- 克服のコツ：見分け方で整理します。同じカッコの2乗 → 中央項が出る。+ と − の符号違いのカッコの積 → 和と差の積で中央が消える。符号を最初に確認してから公式を選ぶ、という順番を固定すると迷いが減ります。
- ミニ例：(√5 + √3)(√5 − √3) は (a+b)(a−b) 型なので (√5)² − (√3)² = 5 − 3 = 2。中央項は出さないのが正解です。
x = √2 + 1 をそのまま代入して計算が膨らむ
- つまずく場面：x = √2 + 1 のとき x² − 2x の値を求める場面で、いきなり x² を展開しようとして (√2 + 1)² = 2 + 2√2 + 1 … と書き始め、途中でルートが消えるのか不安になる瞬間があります。
- 克服のコツ：時系列で手順を固定します。① まず x − 1 = √2 のように移項する。② 両辺を2乗して √ を消す。③ 求めたい式の形に整える。最初に代入せず、2乗してルートを消す式を作ってから処理する、と覚えると迷いません。
- ミニ例：x = √2 + 1 → x − 1 = √2 → (x − 1)² = 2 → x² − 2x + 1 = 2 → x² − 2x = 1。直接代入よりも式が短く済みます。
整数部分と小数部分の関係を逆に書いてしまう
- つまずく場面：√7 の整数部分 a と小数部分 b を求める場面で、a = 2 までは出せても、b を 2 − √7 と書いてしまったり、b = √7 と書いてしまったりする迷いが起きやすいです。本文の「整数部分 + 小数部分」のイメージがぼやけがちな場面です。
- 克服のコツ：位置関係で整理します。数直線上で √7 ≒ 2.64… は 2 と 3 の間にあるので、整数部分は左の整数、小数部分はそこからのはみ出し分。式にすると必ず b = √n − a(プラスではなくマイナス)になります。
- ミニ例：4 < 7 < 9 より 2 < √7 < 3。整数部分 a = 2、小数部分 b = √7 − 2。√7 = a + b の形に戻して検算すると安心です。
練習問題
- (√2 + √5)²
- (√7 − 1)²
- (√6 + √5)(√6 − √5)
- (2 + √3)(2 − √3)
答えを見る
(1) 2 + 2√10 + 5 = 7 + 2√10
(2) 7 − 2√7 + 1 = 8 − 2√7
(3) 6 − 5 = 1
(4) 4 − 3 = 1
- x = √5 + 1 のとき x² − 2x
- x = 2 + √3, y = 2 − √3 のとき x + y と xy
- 上の x, y で x² + y²
答えを見る
(1) (x − 1)² = 5 → x² − 2x + 1 = 5 → x² − 2x = 4
(2) x + y = 4、xy = (2)² − (√3)² = 4 − 3 = 1
(3) x² + y² = (x+y)² − 2xy = 16 − 2 = 14
- a を求めよ。
- b を a を含む形で表せ。
- (a + b)² の値。
答えを見る
(1) 9 < 10 < 16 → a = 3
(2) b = √10 − 3
(3) a + b = √10、(√10)² = 10
まとめ
- 乗法公式は そのままルートにも使える。中央項に 2√(ab) が出る。
- (√a + √b)(√a − √b) = a − b：和と差の積でルートが消える。
- 式の値：x − 1 = √2 のように 移項して2乗、または 因数分解してから代入。
- 対称式 x² + y² は (x+y)² − 2xy で計算。
- 整数部分 a と小数部分 b は b = √n − a の関係。
もっと知る ── 発展・実生活（出典つき）
※ 教科書の内容に、信頼できる出典をもとにした発展・実生活・時事の話題を補足しています（教科書そのものではありません）。
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