この章の比較ペア（まとめ表）
| 比較ペア | A | B |
|---|---|---|
| (√a+√b)² と (√a+√b)(√a−√b) の違い | 和の平方 | 和と差の積 |
| 式の値（移項して2乗）と対称式（x+y, xy 利用）の違い | 移項して2乗型 | 対称式利用型 |
| 近似値と整数部分・小数部分の違い | 近似値計算 | 整数部分と小数部分 |
1. (√a+√b)² と (√a+√b)(√a−√b) の違い
| 比べる軸 | 和の平方 | 和と差の積 |
|---|---|---|
| 使う乗法公式 | (a+b)² = a² + 2ab + b² | (a+b)(a−b) = a² − b² |
| 中央項の有無 | 中央項 2√(ab) が残る | 中央項は消える |
| 結果の形 | 整数 + 2√(ab) のような無理数 | 整数になることが多い |
| 例（√3 と √2） | (√3+√2)² = 5 + 2√6 | (√3+√2)(√3−√2) = 1 |
| 覚えるポイント | 2倍の積を忘れない | 符号が和と差で対になる |
| よくある誤り | 中央項 2√6 を √6 と書く | (√a)² を a に直さず残す |
| 使う場面 | 同じ式を2乗するとき | 和と差の積の形が見えたとき |
なぜこの違いが生まれたのか
和の平方は (a+b)² = a² + 2ab + b² のままルートに当てはめるので、真ん中に 2√(ab) が出る。和と差の積は (a+b)(a−b) = a² − b² なので、(√a)² − (√b)² = a − b となり、ルートがきれいに消える。同じ「ルートの組み合わせ」でも、使う公式の型が違うから結果の形まで変わる。
混同しやすいポイント
(√3+√2)² の中央項を 2·√3·√2 = 2√6 と書くべきところを √6 と書きがち。逆に 和と差の積 なのに 2ab を足してしまい、ルートを残すミスも多い。
テストでの聞かれ方
「次を計算しなさい」として (√2+√5)² と (√6+√5)(√6−√5) が並んで出題される。前者は 7+2√10、後者は 1 のように、結果の形を見分けられるかが問われる。
2. 式の値（移項して2乗）と対称式（x+y, xy 利用）の違い
| 比べる軸 | 移項して2乗型 | 対称式利用型 |
|---|---|---|
| 与えられる条件 | x = √2 + 1 のように x の値そのもの | x+y と xy の値 |
| 求める式の形 | x² − 2x など x だけの式 | x² + y² など x と y の対称式 |
| 最初の操作 | x − 1 = √2 のように移項 | (x+y)² の展開を準備 |
| 次の操作 | 両辺を2乗して x² − 2x を作る | x² + y² = (x+y)² − 2xy に変形 |
| 代表例 | x=√2+1 → x²−2x = 1 | x+y=5, xy=3 → x²+y² = 19 |
| ルートの扱い | 2乗する瞬間にルートが消える | xy の段階でルートが整数化されやすい |
| 計算のコツ | 因数分解してから代入もOK | 公式 (x+y)²−2xy を覚える |
なぜこの違いが生まれたのか
x = √2 + 1 のような 無理数の代入 をそのまま展開すると面倒だが、x − 1 = √2 と移項してから 2 乗すると、ちょうど求めたい x² − 2x が現れて一気に整数になる。一方、x+y と xy だけ与えられたときは、対称式 x² + y² = (x+y)² − 2xy の形に変形すれば、x, y を求めなくても値が出る。
混同しやすいポイント
移項型なのに x = √2+1 を直接2乗 して計算が複雑化するミス。対称式型では (x+y)² − 2xy の 2xy の符号 を間違える人が多い。
テストでの聞かれ方
「x = √5 + 1 のとき x² − 2x」「x = 2+√3, y = 2−√3 のとき x+y, xy, x²+y²」のように、同じ大問の中で 2 タイプを並べて出題され、解法を選び分けられるかが問われる。
3. 近似値と整数部分・小数部分の違い
| 比べる軸 | 近似値計算 | 整数部分と小数部分 |
|---|---|---|
| 何を求めるか | √n のおよその数値 | √n を整数部分 a と小数部分 b に分ける |
| 使う知識 | √2≒1.414, √3≒1.732, √5≒2.236 | a² < n < (a+1)² の不等式 |
| 操作の中心 | ルートを小さくして概数を掛ける | b = √n − a で小数部分を式で表す |
| 代表例 | √50 = 5√2 ≒ 7.07 | √7：a = 2, b = √7 − 2 |
| 答えの形 | 小数（指定桁で丸めた数） | 整数 a と、ルートを含む式 b |
| 次に求めるもの | 1 + √3 ≒ 2.732 のような値 | b² + 4b など b を含む式の値 |
| 注意点 | 途中で丸めず最後に指定桁へ | b を必ず √n − a の形で扱う |
なぜこの違いが生まれたのか
近似値は √2≒1.414 などの代表値を覚え、ルートの中をできるだけ小さくしてから掛けることで、すばやく数値の見当をつける。これに対し整数部分・小数部分は、a² < n < (a+1)² から整数部分 a を決め、残りを b = √n − a と式で表す。前者は「数値」を、後者は「式の形」を答えるのが大きな違い。
混同しやすいポイント
近似値では 途中で丸めすぎ て誤差が大きくなる。整数部分・小数部分では、b を 0.6457… のような小数で書いてしまい、b² + 4b の式の値が計算できなくなる。
テストでの聞かれ方
「√50 のおよその値」のような近似と、「√10 の 整数部分 a と小数部分 b を求め、(a+b)² を計算せよ」のような式の値が、別問題として並んで出題される。
関連
出典・最終更新
- 出典基盤：教科書（数学）の核となる事実と概念データに基づく整理。
- 編集方針：教科書頻出の混同ペアを、比較表と背景説明、混同ポイント、テストでの問われ方までセットで提示しています。
- 最終更新：2026-06-27