平方根の応用のテスト頻出パターン

📝 典型的な出題例：次の式を計算しなさい。(1) (√3 + √2)²　(2) (√5 + √3)(√5 − √3)　(3) (√6 + 2)(√6 − 1)

✅ 答え方のコツ：まずどの乗法公式が使えるかを見抜きます。手順は、(1)公式の形に当てはめる、(2)中央項の2√(ab)を忘れず計算、(3)最後に同類項とルートをまとめる。和と差の積では中央が消えて整数になることを確認します。

🔑 押さえる用語：乗法公式, 中央項, 和と差の積, 同類根号

⚠️ ありがちなミス：(√3 + √2)²で中央項の2を忘れて√6としてしまうミス。2倍の積が乗法公式の正体だと覚えること。

📝 典型的な出題例：x = √2 + 1 のとき、x² − 2x の値を求めなさい。また x = √5 + 1 のとき x² − 2x の値も求めなさい。

✅ 答え方のコツ：そのまま代入せず、x − 1 = √2 のように移項してから2乗するのがコツ。(x − 1)² = 2 を展開して x² − 2x + 1 = 2、よって x² − 2x = 1。同じ考え方で x = √5 + 1 のときは x − 1 = √5 より (x − 1)² = 5、展開して x² − 2x + 1 = 5、よって x² − 2x = 4。因数分解してから代入する方法も有効で、計算がぐっと楽になります。

🔑 押さえる用語：代入, 移項して2乗, 因数分解, 式の値

⚠️ ありがちなミス：x = √2 + 1 をいきなり2乗して計算量を増やすミス。式の形を見て√を片側に集める工夫を先にする。

📝 典型的な出題例：x = 2 + √3, y = 2 − √3 のとき、x + y と xy を求め、さらに x² + y² の値を求めなさい。

✅ 答え方のコツ：まずx + y と xyを計算します。和は√が消え、積は和と差の積で整数になります。次に対称式の公式 x² + y² = (x + y)² − 2xy に代入。x + y = 4、xy = 1 なら 16 − 2 = 14。直接2乗せず公式を使うのが時短のカギです。

🔑 押さえる用語：対称式, 和と差の積, (x+y)² − 2xy, 共役な式

⚠️ ありがちなミス：x², y² をそれぞれ展開してから足してしまい、計算ミスを起こす。対称式の公式を必ず先に思い出す。

📝 典型的な出題例：√7 の整数部分を a、小数部分を b とするとき、a の値を求めなさい。また b² + 4b の値を求めなさい。

✅ 答え方のコツ：(1)√7を整数ではさむ：4 < 7 < 9 より 2 < √7 < 3、よって a = 2。(2)小数部分はb = √7 − 2。(3)b² を展開し、b² + 4b に代入。√7 の項どうしが打ち消し合って整数になることを確認します。

🔑 押さえる用語：整数部分, 小数部分, 平方数ではさむ, b = √n − a

⚠️ ありがちなミス：小数部分を「およそ0.6」など近似値で扱ってしまい正確な値が出ない。小数部分は必ず√n − a の形で表す。

📝 典型的な出題例：√2 ≒ 1.414、√3 ≒ 1.732 を用いて、√50 のおよその値と 1 + √3 のおよその値を求めなさい。

✅ 答え方のコツ：まず√の中をできるだけ小さくします。√50 = 5√2 と簡単化してから、5 × 1.414 = 7.07。1 + √3 は 1 + 1.732 = 2.732。途中で丸めず、最後に指定された桁へ整えるのが誤差を小さくするコツです。

🔑 押さえる用語：近似値, 簡単化, √2≒1.414, 丸め誤差

⚠️ ありがちなミス：途中で四捨五入してから掛け算し、誤差が大きくなるミス。最後にまとめて丸めることを徹底する。