復習のポイント
- 平方根：x² = a のときの x（√a と −√a）
- √a × √b = √(ab)、√a / √b = √(a/b)
- a√b の形：根号の中をできるだけ小さくする（√12 = 2√3）
- 同類項のみまとめられる（√2 + √3 はそのまま）
- 有理化：分母に √ がない形にする
- 乗法公式：(a+b)², (a−b)², (a+b)(a−b) を平方根に応用
平方根の章末で確認する型
- 正の数aの平方根は ±√a。√aそのものは正の平方根を表す。
- √の大小は、正の数なら中身を比べる。必要なら2乗して比べる。
- 計算では、先に√の中を簡単にしてから、乗除・加減を行う。
- 分母に√が残ったら有理化し、最後に約分する。
- 「9の平方根」は±3、「√9」は3。問題文の言い方を区別する。
- √2+√3 は √5 にならない。加減できるのは同じ√だけ。
- 16 の平方根
- 0.25 の平方根
- 1/4 の平方根
- 11 の平方根
- √81 の値
- (√6)² の値
- √((−7)²) の値
- √7 と 3 の大小
- −√11 と −√10 の大小
- √29 の整数部分
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(1) ±4 (2) ±0.5 (3) ±1/2 (4) ±√11 (5) 9 (6) 6 (7) 7 (8) √7<3 (9) −√10>−√11（マイナス逆転） (10) 25<29<36 → 5
- √3 × √5
- √6 × √15
- 2√3 × 4√5
- √50 ÷ √2
- √48
- √72
- √300
- 3√2 × 2√6
- √27 + √12
- √98 − √50
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(1) √15 (2) √90 = 3√10 (3) 8√15 (4) √25 = 5 (5) 4√3 (6) 6√2 (7) 10√3 (8) 6√12 = 12√3 (9) 3√3 + 2√3 = 5√3 (10) 7√2 − 5√2 = 2√2
- 1/√7
- 3/√6
- 4/√8
- √3 + 2/√3
- √32 − √18 + √2
- √75 − √48
- √(1/2) + √2
- √24 + √54
- √45 − √20
- (√50 − √8) × √2
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(1) √7/7 (2) 3√6/6 = √6/2 (3) √8 = 2√2、4/(2√2) = 2/√2 = √2
(4) 2/√3 = 2√3/3、√3 + 2√3/3 = 3√3/3 + 2√3/3 = 5√3/3
(5) 4√2 − 3√2 + √2 = 2√2 (6) 5√3 − 4√3 = √3
(7) √(1/2) = 1/√2 = √2/2、√2/2 + √2 = √2/2 + 2√2/2 = 3√2/2
(8) 2√6 + 3√6 = 5√6 (9) 3√5 − 2√5 = √5
(10) (5√2 − 2√2)·√2 = 3√2·√2 = 6
- (√2 + √3)²
- (√5 − √2)²
- (√7 + 1)(√7 − 1)
- (√3 + 2)(√3 + 5)
- x = √2 + 1 のとき x² − 2x の値
- x = √3 のとき x² + x の値
- x + y = 5, xy = 3 のとき x² + y²
- x = 2+√5, y = 2−√5 のとき x + y, xy
- (√3 + √2)² + (√3 − √2)² の値
- √10 の整数部分を a、小数部分を b として、b² + 6b の値
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(1) 2 + 2√6 + 3 = 5 + 2√6
(2) 5 − 2√10 + 2 = 7 − 2√10
(3) 7 − 1 = 6
(4) 3 + 7√3 + 10 = 13 + 7√3
(5) (x−1)² = 2 → x² − 2x + 1 = 2 → x² − 2x = 1
(6) 3 + √3
(7) (x+y)² − 2xy = 25 − 6 = 19
(8) x+y = 4、xy = 4 − 5 = −1
(9) (5 + 2√6) + (5 − 2√6) = 10
(10) a = 3、b = √10 − 3。b² = 10 − 6√10 + 9 = 19 − 6√10。6b = 6√10 − 18。b² + 6b = 19 − 6√10 + 6√10 − 18 = 1
テスト前のチェックリスト
- □ 16の平方根は ±4（2つあることに注意）
- □ √a × √b = √(ab)、√(a²) = |a|
- □ a√b の形にする：√50 = 5√2
- □ 同類項の概念：√3 と 2√3 は同類項
- □ 有理化：1/√a → √a/a
- □ 乗法公式の応用：(√a + √b)² = a + 2√(ab) + b
- □ 式の値：先に対称式に整理してから代入
- √(a²) = |a|：a が負なら −a になる
- √a + √b ≠ √(a+b)（足し算は分配できない）
- 有理化を忘れない：答えは分母に√がない形
- 同類項のみまとめる：√2 と √3 はまとめられない
平方根の典型問題パターン
① 簡単化：√50 → 5√2、√72 → 6√2 など
② 有理化：1/√3 → √3/3、2/(√5+1) → (√5−1)/2
③ 乗法公式の応用：(√3+√2)² = 5+2√6
④ 式の値：x = √2+1 → x²−2x の値
⑤ 大小比較：√7 と 3 → √7 vs √9 → √7<3
⑥ 整数部分・小数部分：√10 = 3.16… → 整数部分3、小数部分 √10−3
分母の有理化のテクニック
分母が単項：1/√a → √a/a（分子分母に √a をかける）
分母が a+√b 型：分母分子に (a−√b) をかける（共役）
例：1/(√2+1) → (√2−1)/((√2+1)(√2−1)) = (√2−1)/1 = √2−1
分母が √a+√b 型：分母分子に (√a−√b) をかける
例：1/(√3+√2) → (√3−√2)/1 = √3−√2
式の値の解法のコツ
- x²−2x の値のような問題：x の値より、(x−1)² などに変形してから代入
- 例：x = √2+1 のとき (x−1)² = (√2)² = 2 → x²−2x+1 = 2 → x²−2x = 1
- 対称式（x²+y², xy など）は (x+y) と xy で表せる
- x² + y² = (x+y)² − 2xy
- x³ + y³ = (x+y)³ − 3xy(x+y)