復習のポイント
- 平方根：x² = a のときの x（√a と −√a）
- √a × √b = √(ab)、√a / √b = √(a/b)
- a√b の形：根号の中をできるだけ小さくする（√12 = 2√3）
- 同類項のみまとめられる（√2 + √3 はそのまま）
- 有理化：分母に √ がない形にする
- 乗法公式：(a+b)², (a−b)², (a+b)(a−b) を平方根に応用
平方根の章末で確認する型
- 正の数aの平方根は ±√a。√aそのものは正の平方根を表す。
- √の大小は、正の数なら中身を比べる。必要なら2乗して比べる。
- 計算では、先に√の中を簡単にしてから、乗除・加減を行う。
- 分母に√が残ったら有理化し、最後に約分する。
- 「9の平方根」は±3、「√9」は3。問題文の言い方を区別する。
- √2+√3 は √5 にならない。加減できるのは同じ√だけ。
この章でつまずきやすいところ
平方根の章末問題を解いていると、「±はどっち？」「√の中はどこまで簡単にできる？」と途中で手が止まる場面が出てきます。ここでは、問題を読んでいる途中・式を変形している途中の迷いを4つに絞って整理します。
「平方根」と「√」の違いで±を迷う
- つまずく場面：問題文に「16の平方根は？」とあるか「√16は？」とあるかで答えが変わるはずなのに、見ているうちにどちらも同じに見えてきて、±4と書くか4と書くか迷ってしまう。
- 克服のコツ：言い方で見分ける。「○○の平方根」と書いてあれば正と負の2つで±がつく。「√○○」と書いてあれば正のほうだけを表す記号なので答えは1つ。問題文の言い回しをマルで囲んでから答え始めると取り違えにくい。
- ミニ例：「9の平方根」→ ±3。「√9」→ 3。同じ9でも言い方で答えの個数が変わる。
√a+√b を √(a+b) にしてしまう
- つまずく場面：C問題で √32 − √18 + √2 を見たとき、「中身どうしを足し引きすればいいのかな」と思って √(32−18+2) と書きそうになる。加法と乗法のルールが頭の中で混ざってしまう瞬間。
- 克服のコツ：足し引きと掛け算で√の扱いを分ける。√の中をまとめてよいのはかけ算・わり算のときだけ。足し算・引き算は同じ√どうし（同類項）しかまとめられない。だから、足し引きが出てきたら、まず√の中を簡単化して同じ形をそろえる作業を先にやる。
- ミニ例：√32 − √18 + √2 → 4√2 − 3√2 + √2 = 2√2。中身を足したら √16 = 4 になってしまい誤り。
√の中を簡単化する途中で平方数を取りこぼす
- つまずく場面：B問題の √72 を見て「これ以上分けられない？」と止まる。72 = 8×9 と分けても、まだ 8 の中に 4 が隠れていることに気づかず √72 = 3√8 で止めてしまう。
- 克服のコツ：見分け方は、まず素因数分解してから2乗のペアを探すこと。72 = 2³×3² = 2²×2×3² と書き直すと、2²と3²のペアがそれぞれ外に出て 2×3 = 6、残りは中身の 2 なので 6√2 とすぐ分かる。中身に4・9・16・25が隠れていないかをもう一度確認するのがコツ。
- ミニ例：√72 = √(2³×3²) = √(2²×2×3²) = 6√2。途中で 3√8 と書いた場合は √8 = 2√2 とさらに分け直す。
x² − 2x の値で、xを直接代入したくなる
- つまずく場面：D問題で「x = √2+1 のとき x² − 2x の値」を見て、まず x² を展開しようと (√2+1)² を書き始める。途中で 2x の引き算が面倒になり、計算ミスしそうで手が止まる。
- 克服のコツ：平方完成してから代入する。x² − 2x は (x−1)² − 1 と変形できる。x = √2+1 ならx−1 = √2なので、(x−1)² = 2 が一瞬で出る。「xそのもの」より「x−1の形」を作ってから代入すると平方根の計算が消える、という順序を覚えておく。
- ミニ例：x = √2+1 → x−1 = √2 → (x−1)² = 2 → x² − 2x + 1 = 2 → x² − 2x = 1。直接代入よりも速く正確。
- 16 の平方根
- 0.25 の平方根
- 1/4 の平方根
- 11 の平方根
- √81 の値
- (√6)² の値
- √((−7)²) の値
- √7 と 3 の大小
- −√11 と −√10 の大小
- √29 の整数部分
答えを見る
(1) ±4 (2) ±0.5 (3) ±1/2 (4) ±√11 (5) 9 (6) 6 (7) 7 (8) √7<3 (9) −√10>−√11（マイナス逆転） (10) 25<29<36 → 5
- √3 × √5
- √6 × √15
- 2√3 × 4√5
- √50 ÷ √2
- √48
- √72
- √300
- 3√2 × 2√6
- √27 + √12
- √98 − √50
答えを見る
(1) √15 (2) √90 = 3√10 (3) 8√15 (4) √25 = 5 (5) 4√3 (6) 6√2 (7) 10√3 (8) 6√12 = 12√3 (9) 3√3 + 2√3 = 5√3 (10) 7√2 − 5√2 = 2√2
- 1/√7
- 3/√6
- 4/√8
- √3 + 2/√3
- √32 − √18 + √2
- √75 − √48
- √(1/2) + √2
- √24 + √54
- √45 − √20
- (√50 − √8) × √2
答えを見る
(1) √7/7 (2) 3√6/6 = √6/2 (3) √8 = 2√2、4/(2√2) = 2/√2 = √2
(4) 2/√3 = 2√3/3、√3 + 2√3/3 = 3√3/3 + 2√3/3 = 5√3/3
(5) 4√2 − 3√2 + √2 = 2√2 (6) 5√3 − 4√3 = √3
(7) √(1/2) = 1/√2 = √2/2、√2/2 + √2 = √2/2 + 2√2/2 = 3√2/2
(8) 2√6 + 3√6 = 5√6 (9) 3√5 − 2√5 = √5
(10) (5√2 − 2√2)·√2 = 3√2·√2 = 6
- (√2 + √3)²
- (√5 − √2)²
- (√7 + 1)(√7 − 1)
- (√3 + 2)(√3 + 5)
- x = √2 + 1 のとき x² − 2x の値
- x = √3 のとき x² + x の値
- x + y = 5, xy = 3 のとき x² + y²
- x = 2+√5, y = 2−√5 のとき x + y, xy
- (√3 + √2)² + (√3 − √2)² の値
- √10 の整数部分を a、小数部分を b として、b² + 6b の値
答えを見る
(1) 2 + 2√6 + 3 = 5 + 2√6
(2) 5 − 2√10 + 2 = 7 − 2√10
(3) 7 − 1 = 6
(4) 3 + 7√3 + 10 = 13 + 7√3
(5) (x−1)² = 2 → x² − 2x + 1 = 2 → x² − 2x = 1
(6) 3 + √3
(7) (x+y)² − 2xy = 25 − 6 = 19
(8) x+y = 4、xy = 4 − 5 = −1
(9) (5 + 2√6) + (5 − 2√6) = 10
(10) a = 3、b = √10 − 3。b² = 10 − 6√10 + 9 = 19 − 6√10。6b = 6√10 − 18。b² + 6b = 19 − 6√10 + 6√10 − 18 = 1
テスト前のチェックリスト
- □ 16の平方根は ±4（2つあることに注意）
- □ √a × √b = √(ab)、√(a²) = |a|
- □ a√b の形にする：√50 = 5√2
- □ 同類項の概念：√3 と 2√3 は同類項
- □ 有理化：1/√a → √a/a
- □ 乗法公式の応用：(√a + √b)² = a + 2√(ab) + b
- □ 式の値：先に対称式に整理してから代入
- √(a²) = |a|：a が負なら −a になる
- √a + √b ≠ √(a+b)（足し算は分配できない）
- 有理化を忘れない：答えは分母に√がない形
- 同類項のみまとめる：√2 と √3 はまとめられない
平方根の典型問題パターン
① 簡単化：√50 → 5√2、√72 → 6√2 など
② 有理化：1/√3 → √3/3、2/(√5+1) → (√5−1)/2
③ 乗法公式の応用：(√3+√2)² = 5+2√6
④ 式の値：x = √2+1 → x²−2x の値
⑤ 大小比較：√7 と 3 → √7 vs √9 → √7<3
⑥ 整数部分・小数部分：√10 = 3.16… → 整数部分3、小数部分 √10−3
分母の有理化のテクニック
分母が単項：1/√a → √a/a（分子分母に √a をかける）
分母が a+√b 型：分母分子に (a−√b) をかける（共役）
例：1/(√2+1) → (√2−1)/((√2+1)(√2−1)) = (√2−1)/1 = √2−1
分母が √a+√b 型：分母分子に (√a−√b) をかける
例：1/(√3+√2) → (√3−√2)/1 = √3−√2
式の値の解法のコツ
- x²−2x の値のような問題：x の値より、(x−1)² などに変形してから代入
- 例：x = √2+1 のとき (x−1)² = (√2)² = 2 → x²−2x+1 = 2 → x²−2x = 1
- 対称式（x²+y², xy など）は (x+y) と xy で表せる
- x² + y² = (x+y)² − 2xy
- x³ + y³ = (x+y)³ − 3xy(x+y)