復習のポイント
- 二次方程式：ax² + bx + c = 0 の形（a ≠ 0）
- 解き方の選択：
- ・因数分解で解ける場合（最も簡単）
- ・平方完成で平方根を取る
- ・解の公式：x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a
- 判別式 D = b² − 4ac で解の個数判定（高校範囲）
- 文章題：「正の数」「個数」などで解を吟味
この章でつまずきやすいところ
二次方程式は3つの解き方を場面で選び分ける単元。問題を解き進める途中で「どの解法を使うか」「±をどう扱うか」「文章題の答えをどこまで残すか」で迷いやすい。問題を解く前に整理しておこう。
右辺が0でないのに因数分解して解こうとしてしまう
- つまずく場面：B群の問題を見て「因数分解できそう」とすぐ左辺をいじり始める。ところが式が右辺=0になっていないと、「積=0なら一方が0」の性質が使えないことを忘れて、左辺を分解しただけで満足してしまう場面がある。
- 克服のコツ：因果関係で押さえる。ab=0 のときに限って a=0 または b=0 が言えるから、まず右辺を0に整理してから因数分解する、という順番が必須。右辺が0でなければ「積→0」の論理が成り立たず、答えにたどり着けない。
- ミニ例：x² + 4x = 5 を見て (x+5)(x−1) と分解しても、右辺が5のままでは解は出ない。x² + 4x − 5 = 0 に直してから (x+5)(x−1)=0 とし、x=−5, 1 を得る。
平方根を取るとき ± を片方だけにしてしまう
- つまずく場面：A群で (x−1)²=16 を見て「両辺の平方根を取る」と決めたあと、つい x−1=4 だけを書いて x=5 と答えてしまう。中3になっても、平方根の単元で学んだ「±」を方程式の途中で落としてしまう迷いが起きやすい。
- 克服のコツ：見分け方は「2乗して同じ値になる数は2つある」と思い出すこと。(x+a)²=b の形なら、必ず x+a = ±√b と書き、そこから x を求める。±を書く位置はルートの直前、と手順を固定すると落としにくい。
- ミニ例：(x−1)² = 16 → x−1 = ±4 → x = 5 または x = −3。片方だけだと解が1つ抜けてしまう。
解の公式で a,b,c の符号を取り違えてしまう
- つまずく場面：C群で x² − x − 3 = 0 のような式を見て、解の公式に代入する途中で「b は −1 だっけ 1 だっけ」と迷う。ax² + bx + c = 0 の形に揃える前に値だけ拾うと、−1 を 1 として代入してしまう場面が起きる。
- 克服のコツ：見分け方は「式を ax² + bx + c = 0 の形に書き直し、符号込みで a,b,c を抜き出す」こと。x² − x − 3 = 0 なら a=1, b=−1, c=−3。代入時は (−b) や b² の計算で(−1)²=1 のように括弧を必ず付ける。
- ミニ例：x² − x − 3 = 0 は a=1, b=−1, c=−3。x = (−(−1) ± √((−1)²−4·1·(−3)))/(2·1) = (1 ± √(1+12))/2 = (1 ± √13)/2。分母の 2a を 2·1 と明示し、判別式の中も 1+12=13 と段階を踏むと符号で迷わない。
文章題で出た解をそのまま2つとも答えにしてしまう
- つまずく場面：D群「縦が横より2cm長い長方形の面積が48」を解いて2つの解を得たあと、最後に2つとも答えとして書いてしまい、長さに負の値を含めていることに気づかない場面がある。
- 克服のコツ：条件との因果関係で整理する。長さ・個数・自然数などは「正の数」という条件が文章題に書かれている。式の解は出てもそれは「方程式の解」であって、文章の条件に合うかを最後に必ず吟味し、合わない解は捨てる。
- ミニ例：横を x cm とすると x(x+2)=48、x²+2x−48=0、(x−6)(x+8)=0 で x=6, −8。長さは正なので x=−8 は不適。答えは横6cm、縦8cm。
- x² = 49
- x² = 13
- 3x² = 75
- (x − 1)² = 16
- (x + 4)² = 5
- (2x − 1)² = 9
- x² + 4x − 5 = 0（平方完成）
- x² − 6x + 4 = 0（平方完成）
- x² + 8x = 0
- x² − 16 = 0
答えを見る
(1) ±7 (2) ±√13 (3) x² = 25, ±5 (4) x − 1 = ±4 → 5, −3
(5) x = −4 ± √5 (6) 2x − 1 = ±3 → x = 2, −1
(7) (x + 2)² = 9, x = 1, −5 (8) (x − 3)² = 5, x = 3 ± √5
(9) x(x + 8) = 0 → x = 0, −8 (10) (x+4)(x−4) = 0 → x = ±4
- x² − 5x + 6 = 0
- x² + 7x + 12 = 0
- x² − 2x − 15 = 0
- x² + 3x − 28 = 0
- 2x² + 5x + 2 = 0
- 3x² − 7x + 2 = 0
- x² − 4x + 4 = 0（重解）
- x² + 6x + 9 = 0（重解）
- x² − 9 = 0
- 2x² − 8 = 0
答えを見る
(1) (x−2)(x−3) → 2, 3 (2) (x+3)(x+4) → −3, −4
(3) (x−5)(x+3) → 5, −3 (4) (x+7)(x−4) → −7, 4
(5) (2x+1)(x+2) → −1/2, −2 (6) (3x−1)(x−2) → 1/3, 2
(7) (x−2)² → 重解 x = 2 (8) (x+3)² → 重解 x = −3
(9) (x+3)(x−3) → ±3 (10) (x+2)(x−2) → ±2
- x² + 3x + 1 = 0
- x² − x − 3 = 0
- 2x² − x − 1 = 0
- x² + 5x + 2 = 0
- 3x² + 2x − 1 = 0
- x² − 3x − 1 = 0
- 2x² + 3x − 2 = 0
- x² + x − 1 = 0
- x² − 4x + 1 = 0
- 3x² − x − 1 = 0
答えを見る
(1) x = (−3 ± √5)/2 (2) x = (1 ± √13)/2
(3) (2x+1)(x−1) → −1/2, 1 (4) x = (−5 ± √17)/2
(5) (3x−1)(x+1) → 1/3, −1 (6) x = (3 ± √13)/2
(7) (2x−1)(x+2) → 1/2, −2 (8) x = (−1 ± √5)/2
(9) x = 2 ± √3 (10) x = (1 ± √13)/6
- 連続する2つの正の整数の積が110。2つを求めよ。
- 大小2つの自然数があり、差が4、積が60。2つを求めよ。
- 縦が横より2cm長い長方形の面積が48。縦と横は。
- ある正の数を2乗したものは、その数の3倍より40大きい。その数は。
- 10mの針金を折り曲げて長方形を作り、面積を6m²にする。縦は。
- x²+5x+a=0 が x=2 を解にもつとき a。
- x²+ax+12=0 の解が x=−3 のとき、もう一方の解と a。
- 2つの正方形があり、辺の和が10cm、面積の和が58cm²。それぞれの辺は。
- 連続する3つの正の整数の積が、和の8倍に等しい。3整数は。
- x²−mx+12=0 が x=2 を解にもつとき m とその他の解
答えを見る
(1) x(x+1)=110 → (x−10)(x+11)=0 → 10, 11
(2) x(x+4)=60 → (x−6)(x+10)=0 → 6, 10
(3) x(x+2)=48 → (x−6)(x+8)=0 → 横6cm、縦8cm
(4) x²=3x+40 → (x−8)(x+5)=0 → x=8
(5) 縦+横=5、縦x、横5−x、x(5−x)=6 → x²−5x+6=0 → x=2 or 3
(6) 4+10+a=0 → a=−14
(7) 解の積=12、もう一方 = 12/(−3)=−4。和 −3+(−4)=−7=−a → a=7
(8) x+y=10、x²+y²=58。(x+y)²=100=58+2xy → xy=21。x, y は和10・積21 → (x−3)(x−7)=0 → 3, 7
(9) (n−1)n(n+1)=8(3n) → n³−n=24n → n³=25n → n²=25 → n=5（正）→ 4,5,6
(10) 4−2m+12=0 → m=8、もう一方 12/2=6 → m=8、x=6
テスト前のチェックリスト
- □ ax² + bx + c = 0 の3つの解き方を使い分け
- □ 因数分解できれば最も簡単
- □ 平方完成：(x + p)² = q の形に
- □ 解の公式：x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a
- □ 重解（D=0）：解が1つ
- □ 文章題：解の吟味（正・整数など）
- □ 因数分解の形：(x−α)(x−β) なら解は α, β
- 判別式 b² − 4ac：負だと解なし（実数）、0で重解、正で2解
- 因数分解できるか確認：できれば早い
- 文章題の解の吟味：「正の数」「個数」なら負解を捨てる
- 解と係数の関係（中3範囲外だが便利）：和=−b/a、積=c/a
二次方程式の解法の選び方
① 因数分解できる → 因数分解で解く（最も簡単）
例：x² − 5x + 6 = 0 → (x−2)(x−3) = 0
② x² = a の形または (x+p)² = q の形 → 平方根
例：(x − 3)² = 7 → x = 3 ± √7
③ 因数分解しにくい・複雑 → 解の公式
例：x² + 3x + 1 = 0 → x = (−3 ± √5)/2
因数分解できる二次方程式の見分け方
- x² + bx + c = 0 が因数分解できる条件：
- 2つの整数の和が b、積が c
- 例：x² + 7x + 12 = 0 → 和7・積12 → 3と4 → (x+3)(x+4)
- 例：x² − 5x − 14 = 0 → 和−5・積−14 → 2と−7 → (x+2)(x−7)
- 1つの実数解（重解）：x² − 2ax + a² = (x − a)²
- 2つの平方の差：x² − a² = (x+a)(x−a)
判別式と解の個数
D > 0：異なる2つの実数解
D = 0：重解（解1つ）
D < 0：実数解なし（中学範囲では「解なし」）
例：x² + x + 1 = 0 → D = 1 − 4 = −3 → 解なし
例：x² − 4x + 4 = 0 → D = 16 − 16 = 0 → 重解 x = 2
解の公式の覚え方
語呂合わせ：「マイナスびー、プラスマイナス、ルートの中、びーの2乗、マイナス4エーシー、ぜんぶ2エーで割る」
→ a, b, c を正確に代入する（符号に注意）
→ ルートの中が 負なら実数解なし
→ ルートの中が 0なら重解