文字式の利用を解く・整理する5ステップ

各ステップをクリックすると詳しい説明と例が開きます。

ステップ 1：ステップ1: 対象を文字で正しく表す

偶数は2n、奇数は2n+1（または2n−1）、3の倍数は3nのように、整数nを使って表します。2つの異なる数は必ず違う文字（2mと2n）にすること。同じ文字を使うと「同じ数」になってしまいます。連続整数はn, n+1, n+2、連続する偶数は2n, 2n+2と置きます。

例題：偶数を2n、奇数を2n+1、5の倍数を5n、2桁の数を10a + b（十の位a、一の位b）と表す。例：43 ＝ 10×4 + 3。

ステップ 2：ステップ2: 同じ操作を式全体にかけて変形する

立てた文字式に対し、和や差などの計算を最後までやり切る。連続整数は中央をnにすると±が消えて計算が短くなります。展開・同類項の整理を済ませ、次のステップで「○×整数」の形が見えるようにそろえます。

例題：連続する3整数をn−1, n, n+1とおき、和は(n−1)+n+(n+1) ＝ 3n。中央をnにすると一気にまとまる。

ステップ 3：ステップ3: 「目的の数 × 整数」の形に変形する

倍数を示すには共通因数でくくり出して、3×(整数)、6×(整数)のような形を作ります。くくった中身が整数であることもひと言添えると親切。この「形を明示する」工程が証明の中心です。

例題：3つの連続する偶数 2n, 2n+2, 2n+4 の和は 6n+6 ＝ 6(n+1)。n+1は整数なので6×整数の形。

ステップ 4：ステップ4: 言葉で結論を述べる

式変形だけで止めず、「○+○は整数だから、○(○+○)は○の倍数である」と根拠を書き、最後に「よって〜である」と結論を日本語で述べます。ここを書かないと証明は完成しません。

例題：「n+1は整数なので、6(n+1)は6の倍数である。よって、3つの連続する偶数の和は6の倍数である。」

ステップ 5：ステップ5: 具体例で答えを確かめる

証明できたら2〜3個の具体例で確かめて、計算ミスや置き方の間違いをチェックします。具体例が合わなければ、文字の置き方や式変形のどこかに誤りがあります。

例題：連続2奇数の和が4の倍数：1+3＝4、3+5＝8、5+7＝12、7+9＝16。すべて4の倍数で一致。

これだけは覚える

偶数＝2n、奇数＝2n+1、3の倍数＝3n、2桁の数＝10a+b。証明は「文字で表す→計算→○×整数の形→言葉で結論」の流れ。2つの異なる数には違う文字を使う。

偶数と奇数の表現を逆に書く誤り、連続整数をn・2n・3nと倍数と混同する誤り、式変形だけで終えて結論の言葉を書かない誤り、2つの異なる数に同じ文字を使ってしまう誤りに注意。