二等辺三角形の性質と証明の解き方／コツ

まず等しい2辺（等辺）がどれかを図に書き込みます。等辺がはさむ角が頂角、残った辺が底辺、底辺の両端の角が底角です。「底角＝底辺の両端の角、頂角＝等辺がはさむ角」と、底辺・等辺の位置から定義する形で覚えるのがポイント。図に「＝」の印を入れて等辺を区別しましょう。

三角形の内角の和は180°で、二等辺三角形では2つの底角が等しいので、底角＝(180°−頂角)÷2、頂角＝180°−2×底角で計算できます。「180°から引かずに2で割る」、また頂角を求めるとき、2×底角で止めて180°から引き忘れる（正しくは頂角＝180°−2×底角）などのミスに注意。求めたい角が頂角か底角かを最初に判定するのがコツです。

「底角が等しい」を証明するときは、頂点Aから頂角の二等分線ADを引いて△ABDと△ACDの合同を示すのが定石。①AB＝AC（仮定）、②∠BAD＝∠CAD（二等分線）、③AD＝AD（共通）の2組の辺とその間の角で合同。対応する角として∠B＝∠Cが言えます。補助線なしでは合同が作れないので必ず引きましょう。

性質の逆も成り立ちます。△ABCで∠B＝∠Cと分かれば、AB＝ACと言えて二等辺三角形になります。証明ではAから∠Aの二等分線ADを引き、①∠B＝∠C（仮定）、②∠BAD＝∠CAD（二等分線）、③三角形の内角の和より∠ADB＝∠ADC、④AD＝AD（共通）から「1辺とその両端の角」で△ABD≡△ACDとなり、対応する辺としてAB＝ACが言えます。問題で角の情報が与えられたら「逆」が使えないか考えるのがコツ。

二等辺三角形では、頂角の二等分線が底辺の垂直二等分線になります。△ABD≡△ACDから対応する辺BD＝CDで二等分、対応する角∠ADB＝∠ADCで、これらの和が180°なので∠ADB＝∠ADC＝90°。中点・垂直の問題が出たらこの性質を使うとすぐ解けます。正三角形は二等辺三角形の特別な場合（3辺・3角が等しく60°×3）。