平行線と面積の違い辞典｜中2数学（数学）

この章の比較ペア（まとめ表）

比較ペア	A	B
底辺と高さ（たかさ）の違い	底辺	高さ
等積変形（とうせきへんけい）と合同（ごうどう）の違い	等積変形	合同
三角形の中線と平行四辺形の中心を通る直線による二等分の違い	三角形の中線	平行四辺形の中心を通る直線

底辺は面積を計算するときに基準として選んだ1辺で、高さはその底辺に垂直な距離です。平行線ℓ ∥ m があれば、ℓ 上の底辺 AB に対して、頂点が m 上にある限り高さは平行線の間隔として一定になります。だから「底辺と高さが同じ」なら、形が違っても面積は等しくなるのです。

斜めの辺の長さをそのまま高さと思い込むミスが多いです。高さは底辺に対して直角に測った距離であり、辺の長さそのものではありません。図に垂線をかいて確認しましょう。

「△PAB の高さはどこか」「ℓ ∥ m のとき高さはいくつか」を図で問う問題が定番です。『底辺はどれか・高さはどこか』を図に矢印で示せと聞かれることが多いので、垂直の印をかく練習が大切です。

合同は形も大きさも完全に同じなので面積も自動的に等しくなりますが、等積変形は形は違っても面積だけが等しい状態を作る技です。平行線間では高さが一定なので、頂点を平行線に沿って動かすと、底辺が同じなら面積は変わらず、形だけが変わります。

「面積が等しい＝合同」と思い込むミスがよく出ます。等積変形は形が変わっても面積だけが等しいので、辺の長さや角は違ってかまいません。逆に合同なら面積も必ず等しいですが、その逆は成り立ちません。

「四角形 ABCD を等積な三角形に変形せよ」「△ACD と△ACE の面積が等しい理由を述べよ」など、『合同ではないが面積は等しい』理由を平行線で説明させる問題がよく出ます。

比べる軸	三角形の中線	平行四辺形の中心を通る直線
対象の図形	三角形	平行四辺形
二等分する直線	頂点から対辺の中点へ引いた線（中線 AM）	対角線の交点（中心）を通る任意の直線
本数	1つの頂点から1本（合計3本ある）	中心を通れば何本でも（向きは自由）
面積が等しくなる根拠	底辺 BM＝MC、高さ A から BC への垂線が共通だから等しい	中心に関して点対称（180°回転で重なる）だから等しい
対称性の種類	中線による2つの三角形は底辺と高さが共通	図形全体が中心に関して点対称
結果として等しいもの	△ABM の面積＝△ACM の面積	直線で分けた2つの領域の面積が等しい
使う場面	三角形を面積で半分にしたい問題	平行四辺形を面積で半分にしたい問題

三角形では『中点を通る中線』に限って面積が二等分されます。底辺 BM＝MC で高さも共通だからです。一方、平行四辺形は点対称（てんたいしょう）なので中心（対角線の交点）を通る直線ならどんな方向でも面積が二等分されます。図形の対称性の違いがポイントです。

「平行四辺形でも中点を通る線でしか二等分できない」と勘違いするミスや、逆に「三角形でも頂点を通れば何でも二等分」と思い込むミスがあります。三角形は中線に限る、平行四辺形は中心を通れば自由と覚えましょう。

「△ABC の面積を二等分する直線を A を通って引け」「平行四辺形 ABCD の面積を二等分する直線の引き方を説明せよ」のように、『どこを通れば二等分できるか』とその理由を問う問題が定番です。