一次関数の応用のテスト頻出パターン｜中2数学（数学）

一次関数の応用のテスト頻出 5 パターン

定期テスト・入試で実際によく出る型を、答え方のコツとセットで整理しました。

パターン1：動点と図形の面積を式で表す

📝 典型的な出題例：底辺BC=10cm、高さ8cmの三角形ABCで、点PがBから底辺上を秒速1cmで進む。x秒後の三角形ABPの面積yを式で表し、変域も答えなさい。

✅ 答え方のコツ：①BP=xと置く、②高さは変わらないことを確認、③面積=(1/2)×底辺×高さに代入。この問題ならy=(1/2)×x×8=4x。最後にxが動ける範囲(変域)を必ず書く。Pが底辺上にいる間なので0≦x≦10。

🔑 押さえる用語：動点, 変域, 面積の公式, 傾き

⚠️ ありがちなミス：変域を書き忘れる／Pが頂点を越えた後も同じ式が使えると思ってしまう。範囲ごとに式が変わる場合があることを忘れる。

パターン2：料金プラン比較で交点を求める

📝 典型的な出題例：プランA：基本料500円＋1回50円、プランB：基本料1500円＋1回30円。何回以上ならBが得か求めなさい。

✅ 答え方のコツ：①それぞれをy=ax+bの式に直す(A:y=50x+500、B:y=30x+1500)。②2つの式を等しいと置いて連立方程式を解くと交点のxが出る(x=50)。③交点の前後でどちらが得か考える。回数なら整数なので「51回以上でBが得」と答える。

🔑 押さえる用語：交点, 連立方程式, 傾き(単価), 切片(基本料)

⚠️ ありがちなミス：交点を片方の式だけで求めてしまう／「ちょうど同額」の点を「Bが得」に含めてしまう。境界の扱いに注意。

パターン3：水量の増減を式で表す(傾きの正負)

📝 典型的な出題例：200Lの水槽から毎分5Lずつ水を抜く。x分後の水量yを式で表し、水槽が空になる時間を求めなさい。

✅ 答え方のコツ：①初期値b=200(x=0のとき200L)、②減るので傾きはマイナス、a=−5。よってy=−5x+200。空になるのはy=0のとき：0=−5x+200 → x=40分。増えるか減るかを文章から正しく読み取ることが最大のポイント。

🔑 押さえる用語：傾きの符号, 初期値, 変化率, 変域

⚠️ ありがちなミス：「減る」のに傾きを正にしてしまう(y=5x+200と書く)。文章をよく読まずに式を立てるとよく起きる。

パターン4：速さ・距離・時間の関係を一次関数で表す

📝 典型的な出題例：AさんがP地点から毎分80mで歩き、BさんがP地点から200m先のQ地点から毎分120mでPに向かって歩く。2人が出会うのは何分後か、Pから何mの地点か求めなさい。

✅ 答え方のコツ：①xを時間、yを位置にする。Aさん：y=80x、Bさん：y=−120x+200。②出会う＝yが等しいので連立して解く。80x=−120x+200 → 200x=200 → x=1分後。③位置はどちらかの式に代入：y=80×1=80mの地点。

🔑 押さえる用語：速さ=傾き, 位置=y, 出会い=交点, 単位の統一

⚠️ ありがちなミス：単位がそろっていない(分と秒、mとkmが混ざる)／向かい合う動きで片方の傾きを正のままにしてしまう。

パターン5：温度・高度・燃焼など「一定の割合」の問題

📝 典型的な出題例：長さ20cmのろうそくが毎分0.5cm燃える。x分後の長さyを式で表し、燃え尽きるまでの時間を求めなさい。また変域も答えなさい。

✅ 答え方のコツ：①初期値=20、変化率=−0.5(燃えて短くなるので負)。式はy=−0.5x+20。②燃え尽きるのはy=0のとき：0=−0.5x+20 → x=40分。③変域は0≦x≦40。yの単位(cm)・xの単位(分)を式の意味とともに答えること。

🔑 押さえる用語：初期値, 変化率, 変域, 単位

⚠️ ありがちなミス：「燃える＝減る」なのに傾きを正にしてしまう／変域を書き忘れる／単位なしで数字だけ答える。

応用問題は 「xとyを単位付きで決める」→「初期値と変化率を見つける」→「y=ax+bを作る」→「変域を確認」 の流れで必ず解けます。比較問題は交点、動点は 範囲ごとの式、増減は 傾きの符号 を意識しましょう。答えは数値だけでなく単位まで書くのが鉄則です。