多角形の角 ── 内角と外角の和の違い辞典｜中2数学（数学）

この章の比較ペア（まとめ表）

内角は多角形の内側にできる角で、辺の数が増えるほど和も増えていきます。一方外角は辺をのばしてできる外側の角で、多角形の周りを1周すると向きがちょうど360°回転するため、何角形でも和は360°で一定です。隣り合う内角と外角は直線上にあるので、合わせて180°になります。

外角の和を「n×何度」と図形ごとに変えてしまうのは典型的なミス。外角の和は常に360°で、nに関係しません。また内角と外角を逆に図示して、外側の角を内角と呼んでしまう混同も多いです。

「1つの外角が40°の正多角形は何角形か」のように、外角から n を求める形でよく出題されます。内角から逆算する場合も、まず180°−内角で外角を出し、360°÷外角でnを求めるのが定石です。

比べる軸	正多角形	一般の多角形
辺の長さ	すべて等しい	ばらばらでよい
角の大きさ	すべて等しい	ばらばらでよい
内角の和の公式	(n−2)×180°で成立	(n−2)×180°で成立
外角の和	常に360°	常に360°
1つの内角の求め方	(n−2)×180°÷nで出せる	和は出せるが1つは出せない
1つの外角の求め方	360°÷nで出せる	1つだけでは決まらない
代表例	正三角形、正方形、正六角形	長方形（正方形でないもの）、ひし形（正方形でないもの）、一般の台形、ふつうの五角形など

正多角形は辺も角もすべて等しいという強い条件があるので、内角の和をnで割れば1つの角の大きさが分かります。一方一般の多角形は角がばらばらなので、和は求められても1つ1つの角は決まりません。内角の和の公式 (n−2)×180° は、正かどうかに関わらず成り立つ点に注意が必要です。

正多角形ではないのに「1つの内角=和÷n」と割り算で答えを出してしまう誤りが多いです。問題文に「正」とあるかを必ず確認しましょう。一般の多角形では1つの角は問題の条件から個別に求めます。

「正八角形の1つの内角を求めよ」のように正多角形に限った計算問題でよく問われます。逆に一般四角形では「他の3角が分かっているとき残りの角」を360°から引いて求める形が定番です。

内角の和はn角形を1つの頂点から対角線で (n−2) 個の三角形に分けられるため、三角形の内角の和180°を (n−2) 倍した値になります。外角の和はどの多角形でも周りを1周すれば向きが360°回るため、辺の数nに関係なく常に360°で一定になります。

内角の和を180°×n と書いてしまうのは典型ミス。三角形の数が n ではなく n−2 個である理由を理解していないと起こります。逆に外角の和を「角の数だけ増える」と考えるのも誤りです。

「十二角形の内角の和を求めよ」「外角の和はいくつか」のようにセットで問われることが多いです。応用では「1つの内角が144°の正多角形は何角形か」が頻出で、外角36°から n=10 と求めます。