平行線と面積を解く・整理する5ステップ

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ステップ 1：ステップ1: 共通の底辺を見つける

まず、図の中でどこを底辺にするかを決めます。面積を比べたい三角形が 共通の辺を持っていないか探しましょう。共通の底辺が見つかれば、あとは高さを比べるだけで面積の大小がわかります。

例題：2直線 ℓ ∥ m。ℓ 上の線分 AB を底辺にすると、△PAB・△QAB・△RAB はすべて AB が共通の底辺になる。

ステップ 2：ステップ2: 高さが平行線の間隔になっているか確認する

三角形の高さは底辺に垂直な距離です。頂点が底辺と平行な直線上にあるなら、高さは2本の平行線の間隔そのもので、どこでも一定になります。斜めの辺の長さを高さと勘違いしないよう、必ず垂直な距離で考えましょう。

例題：底辺 AB が x 軸上にあり、頂点 P が直線 y = 5 上を動くとき、高さは常に 5。P が (0,5) でも (10,5) でも面積は同じ。

ステップ 3：ステップ3: 等積変形で頂点を平行線上にずらす

面積を変えずに形を変えたいときは、ある頂点を通り、底辺に平行な直線を補助線として引きます。その頂点を平行線上で動かしても、底辺と高さが変わらないので面積は同じです。これが等積変形の基本動作です。

例題：四角形 ABCD で、頂点 D を通り対角線 AC に平行な線を引き、辺 BC の延長との交点を E とすると、△ACD と △ACE の面積は等しい。

ステップ 4：ステップ4: 多角形を1つの三角形にまとめる

四角形などを対角線で2つの三角形に分け、片方を等積変形で動かして大きな三角形に作り変えます。こうすると、複雑な多角形でも1つの三角形の面積として計算できます。

例題：四角形 ABCD で D を AC に平行に動かして E にすると、四角形 ABCD = △ABC + △ACD = △ABC + △ACE = △ABE となる。

ステップ 5：ステップ5: 中線・中心を使って面積を二等分する

三角形の中線（頂点と対辺の中点を結ぶ線）は、底辺を半分に分けて高さが共通なので、面積も二等分します。平行四辺形では、対角線の交点（中心）を通る直線ならどの向きでも面積を二等分できます。

例題：△ABC で BC の中点 M をとり AM を引くと、△ABM と △ACM は底辺 BM＝MC、高さ共通なので面積は等しい。

これだけは覚える

底辺が同じ・高さが同じなら、形がちがっても面積は同じ。高さは平行線の間隔として一定。等積変形では「ある頂点を通り、底辺に平行な直線」を引いて頂点をずらすのが定石です。

斜めの辺を高さと勘違いしやすい（高さは底辺に垂直な距離）。見た目の形だけで面積を比べてしまう。底辺が同じかどうかを確認せずに「面積が等しい」と決めつけるのもよくある誤りです。