樹形図と表 ── 場合の数の数え方の違い辞典｜中2数学（数学）

この章の比較ペア（まとめ表）

樹形図と表は、どちらももれなく重なりなく場合の数を数えるための道具ですが、得意な形が違います。順番に操作が続く問題は枝を分けていく樹形図が見やすく、2つのものを組み合わせる問題は縦×横で全体を一気に把握できる表が便利だからです。

「表のほうが速いから」と順序のある問題まで表で済ませようとすると、3回目以降の場合が表せず混乱します。逆に2個のサイコロを樹形図で描くと枝が36本になり、数え漏れの原因になります。

「次の場合の数を求めるのに樹形図と表のどちらが適切か」「樹形図をかいて全ての場合を書き出しなさい」「表を完成させ、和が○になる確率を求めなさい」のように、道具の選択と作図がセットで問われます。

比べる軸	順番を区別して並べる場合の数	順番を区別しないで組をつくる場合の数
順番の扱い	順番を区別する	順番を区別しない
A→BとB→A	別物として2通り数える	同じものとして1通りに数える
問題文の合図	「並べる」「左から」「順番に」	「選ぶ」「組をつくる」
樹形図での数え方	枝の先（末端）の数をそのまま全部数える	樹形図で並べた後、同じ組になる並びをまとめて1つに数える
代表例	3人A,B,Cを1列に並べる→ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBAの6通り	3人A,B,Cから2人を選ぶ→AB,AC,BCの3通り
確率での使い方	「2桁の数」「並べ方」の場合の数に使う	「組」「メンバー選び」の場合の数に使う

同じ「いくつのパターンがあるか」を求めるときでも、順番を別物とみなすか同じとみなすかで答えが変わります。たとえばAとBを「並べる」ならABとBAは別ですが、「2人組を選ぶ」ならABとBAは同じ組です。問題文の動詞（並べる／選ぶ）がこの違いを決めます。

「A→B」と「B→A」を同じものと早とちりするのがいちばん多い誤りです。並べる問題なのに同じ組としてまとめてしまったり、選ぶ問題なのに並べ方まで全部数えてしまったりして、答えが2倍ずれることが起きます。

「2桁の整数を作るとき何通りか」「3人から2人を選ぶ方法は何通りか」のように、動詞を変えて両方を比較させる問題が定番です。

比べる軸	区別する	区別しない
考え方	同じ見た目でも別のものとして扱う	見分けがつかないものは同じ場合にまとめる
2枚のコインの例	HH、HT、TH、TT の4通り	HH、HT（＝TH）、TT の3通り
数え方の基本	1個目・2個目を別物として掛け算する	区別した数から、重なる場合を引く
確率の計算では	こちらを使う（同様に確からしいため）	場合の数を答えるだけの問題で使うことがある
同じ見た目のものの扱い	色や位置で区別して別物として数える	見分けがつかないものはまとめて1通りとする
代表的な誤り	見た目が同じ2個の玉でも『区別して』数えるべき場面で、同じだからと1通りに減らしてしまう	確率の分母に使ってしまい答えがずれる
見分け方	サイコロ・コインなど物理的に別の2個	並び順を気にしない「組」をきかれたとき

コインやサイコロは同じ形でも別の物なので、確率では区別して数えるのが基本です。区別しないで数えると、HTとTHを1つにまとめてしまい、同様に確からしいという確率の前提が崩れて、答えが正しく出なくなるためです。

2枚のコインで「HH、HT、TT の3通りだから表が1枚出る確率は1/3」と答えてしまう誤りが定番です。正しくはHTとTHを区別して4通りのうち2通りなので1/2になります。

「2枚のコインを同時に投げるとき、表が1枚出る確率」「同じ色の玉が複数あるとき、区別して数えるとどうなるか」など、区別の有無で答えが変わる場面が選択肢付きで問われます。