素数と素因数分解を解く・整理する5ステップ

各ステップをクリックすると詳しい説明と例が開きます。

ステップ 1：ステップ1: 素数かどうかを見分ける

まず1は素数に入れないことを確認するよ。次に、その数が2, 3, 5, 7のような小さい素数で割り切れるかを順に調べる。割り切れたら素数ではない（合成数）、最後まで割れなければ素数と判定できる。1とその数自身でしか割れない1より大きい自然数だけが素数だよ。

例題：9は3で割れる（9＝3×3）から素数ではない。11は2でも3でも割れず、自分自身まで他の約数がないので素数。

ステップ 2：ステップ2: 小さい素数で割っていく（すだれ算）

素因数分解は最小の素数から順に割っていくのが基本。2で割れるか→次に3で割れるか…と進め、商を同じ手順でもう一度調べる。教科書のようにすだれ算（縦の割り算）で書くと、左に並んだ素数たちと最後の商が答えのもとになるよ。

例題：24なら、2 ) 24 / 2 ) 12 / 2 ) 6 / 3 と並ぶ。左の素数と最後の3をかけて 24 ＝ 2×2×2×3。

ステップ 3：ステップ3: 商が1（または素数）になるまで続ける

割り算は最後の商が素数になるまで続けるのがルール。途中で「もう割れそうにない」と感じても、3, 5, 7…と試して素数になっていれば終わり。商が合成数のまま止めると、12＝3×4のように素数でない数を残してしまう誤答になるから注意しよう。

例題：36 → 2 ) 36 / 2 ) 18 / 3 ) 9 / 3 で終わり。答えは 36 ＝ 2×2×3×3。

ステップ 4：ステップ4: 同じ素数は累乗でまとめる

分解できたら、同じ素数を右上の小さい数（指数）でまとめよう。指数は「同じ数を何個かけたか」を表す。これで式が短くなり、約数・最大公約数・最小公倍数を求める次の単元でとても使いやすくなる。順番は小さい素数から並べるのが見やすいよ。

例題：24 ＝ 2³×3、72 ＝ 2³×3²、100 ＝ 2²×5²のように整理する。

ステップ 5：ステップ5: 答えを見直す（かけ算で戻す）

最後に、書いた素因数を全部かけ算してもとの数に戻るかを確かめよう。素因数分解の答えは順序を除いて1通りに決まるから、並びがちがっても素数と指数が合っていればOK。素数だけになっているか、合成数が残っていないかも一緒にチェック。

例題：180 ＝ 2²×3²×5 を検算。2×2×3×3×5 ＝ 4×9×5 ＝ 180 で一致。

これだけは覚える

1は素数ではない／素数は2から始まる。素因数分解は小さい素数で順に割り、商が1（または素数）になるまで続ける。同じ素数は累乗でまとめ、答えは順序を除いて1通りに決まる。

1を素数に入れてしまう誤答や、12＝3×4のように合成数を残して止める誤答が多い。また、2×2×2を2³ではなく2²と書くなど、指数は「同じ数の個数」と覚えていないと間違いやすいよ。