比例・反比例の利用 ── 速さ・歯車・密度などの実例の違い辞典｜中1数学（数学）

この章の比較ペア（まとめ表）

応用問題では「何が一定で何が変化するか」が分かれ目になります。1あたり量が一定なら比例（y=ax）、道のりや面積のような積が一定なら反比例（y=a/x）。同じ「速さ」の問題でも、道のりを固定するか時間を固定するかで関係が変わるので、まず一定量を確認することが出発点になります。

「増えるから比例」「2倍だから比例」とキーワードだけで判断するのが最大のワナ。y/x が一定か、xy が一定かを必ず確かめる習慣をつけましょう。

表が与えられて式を立てさせる問題が頻出。y/x と xy の両方を計算して、どちらが一定かで比例・反比例を判定し、y=ax か y=a/x の形で答えるパターンが定番です。

速さの公式は 道のり = 速さ × 時間 の1つだけですが、3つの量のうちどれを一定にするかで関係が変わります。道のりを固定すると速さと時間は積一定なので反比例、時間を固定すると速さと道のりは比例。だから「速さの問題＝反比例」と決めつけてはいけません。

速さが2倍なら時間も2倍と書いてしまう誤答が典型。これは道のり一定なら反比例になる理解が弱いサイン。まず「何が一定か」を表に書き出してから式を作りましょう。

「家から学校までの1200mを毎分xmで歩くとy分かかる」のように道のり固定型で y=1200/x を立てさせる出題と、「時速60kmで x時間」のように速さ固定型で y=60x を立てさせる出題が交互に出ます。

比べる軸	歯車問題（積一定）	密度問題（1あたり量一定）
一定なもの	かみ合う歯数（歯数×回転数）	密度（1cm³あたりの質量）
関係式	a × x = b × y → y = (a/b)x	y = 密度 × x（例：y = 2.7x）
関係の種類	2つの歯車の回転数x, yは比例（歯数の比a/bが一定）。かみ合う2つの歯車どうしで比べると、歯数と回転数は反比例（歯数が多いほど回転数は少ない）	体積と質量は比例（密度一定）
比例定数の正体	歯数の比 a/b	密度（g/cm³）
具体例	歯数36のA（大きい歯車）と歯数12のB（小さい歯車）→ Aが1回転するときBは3回転（小さい方が速く回る）	鉄7.87g/cm³、アルミ2.7g/cm³
最初の一手	「歯数×回転数が等しい」と式を立てる	「質量=密度×体積」と式を立てる
単位の注意	歯数は個数、回転数は回	g と cm³ を混ぜないように整理

両方とも比例・反比例の応用ですが、関係式の作り方が違います。歯車は「かみ合う歯数が同じ」という条件から積の等式を立てます。一方、密度は「単位体積あたりの質量」という1あたり量がそのまま比例定数になります。式を立てる前に、何が一定で何が比例定数になるかを見極めるのがコツです。

濃度や密度で単位を混ぜる誤答が多発。g と kg、cm³ と L を混ぜないこと。歯車では「歯数が多いほど速く回る」と逆に覚えてしまう誤答も注意（歯数が大きいほどゆっくり回り、歯数が小さいほど速く回ります）。

歯車は「歯数aのAと歯数bのBがかみ合うとき、回転数の関係を式で表せ」、密度は「アルミ2.7g/cm³のとき、体積x cm³の質量y gを式で表せ」のように、関係式を立てさせて具体値を代入する2段構えで出題されます。