多角形の角を解く・整理する5ステップ

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ステップ 1：ステップ1: 何を求めるかを確認する

まず問題が 内角の和・1つの内角・外角・n（角の個数）のどれを聞いているかを読み取ります。次に「正多角形」と書いてあるかを確認。正多角形でなければ「1つの角」を計算してはいけません。条件を箇条書きにしてから式に進むと、迷いません。

例題：例：「1つの内角が108°の正多角形は何角形か」→ 求めるもの＝n、条件＝正多角形・内角108°。

ステップ 2：ステップ2: 内角の和は (n－2)×180° を使う

n角形の内角の和は (n－2)×180°。1つの頂点から対角線を引くと、三角形が (n－2)個できることが理由です。四角形なら2個で360°、五角形なら3個で540°、六角形なら4個で720°。nに数を入れるだけで答えが出ます。

例題：例：十二角形の内角の和＝(12－2)×180°＝10×180°＝1800°。

ステップ 3：ステップ3: 外角の和は常に360°と覚える

どんな多角形でも 外角の和は360°です。三角形でも百角形でも変わりません。各頂点で内角＋外角＝180°なので、180n から内角の和を引くと必ず360°になります。多角形のまわりを一周すると向きが360°回ることがイメージです。

例題：例：正九角形の1つの外角＝360°÷9＝40°。

ステップ 4：ステップ4: 正多角形は「÷n」で1つ分を出す

正n角形は すべての辺と角が等しいので、和をnで割れば1つ分が出ます。1つの内角＝(n－2)×180°÷n、1つの外角＝360°÷n。内角と外角は隣り合って180°になるので、片方が分かればもう片方は引き算で出せます。

例題：例：正八角形の1つの内角＝(8－2)×180°÷8＝1080°÷8＝135°。外角は180－135＝45°。

ステップ 5：ステップ5: 「n を求める」問題は外角から攻める

「正何角形か？」を聞かれたら、まず1つの外角を出します。内角が与えられたら 外角＝180°－内角に直してから、n＝360°÷外角で一発。内角の式を立てて解くより、計算がぐっと短くなります。

例題：例：1つの内角が144°→外角＝180－144＝36°→n＝360÷36＝10。正十角形。

これだけは覚える

内角の和＝(n－2)×180°、外角の和＝常に360°、内角＋外角＝180°の3つが核。正n角形なら和をnで割れば1つ分。n を求める問題は外角からが最速ルートです。

内角の和を 180°×nとしてしまう（正しくは三角形が n－2 個）。外角の和を多角形ごとに変える（実は 常に360°）。正多角形でないのに1つの角を割り算で出す（等しい条件を必ず確認）。