因数分解③ 応用を解く・整理する5ステップ

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ステップ 1：ステップ1: まず共通因数をくくり出す

応用問題でも、いきなり公式を当てはめてはいけません。最初にすべての項に共通な数や文字がないかを確認し、あれば前にくくり出します。これで式が一気に簡単になり、残った中身が公式に当てはまる形になることが多いです。順序は①共通因数 → ②公式 → ③分解し残し確認。

例題：3x² − 12 → 共通因数 3 をくくる → 3(x² − 4)。残った x² − 4 は2乗の差で(x + 2)(x − 2) → 答えは3(x + 2)(x − 2)。

ステップ 2：ステップ2: 同じカタマリを M で置き換える

(x + 1) や (x + y) のように同じ式が繰り返し出てくるときは、そのカタマリを M とおいて式を作り直します。すると基本の公式（M² − a²、M² + 2aM + a² など）の形にもどせます。最後はM を元の式に戻すのを必ず確認しましょう。

例題：(x + y)² − 9 → x + y = M とおくと M² − 9 = (M + 3)(M − 3) → 戻して(x + y + 3)(x + y − 3)。

ステップ 3：ステップ3: 項が4つなら2項ずつグループ分けする

項が4つあって公式に当てはまらないときは、前2項と後2項に分けてそれぞれ共通因数をくくり出します。すると同じカッコの式が現れるので、そのカッコをさらに共通因数としてくくり出せます。並べ替えてグループを作るのもコツです。

例題：ax + bx + ay + by → x(a + b) + y(a + b) → 共通の (a + b) をくくる → (a + b)(x + y)。

ステップ 4：ステップ4: 数の計算は2乗の差を見抜く

49² − 51² のような大きな計算は、因数分解を使うと暗算レベルになります。a² − b² の形を見たら、迷わず(a + b)(a − b) に書きかえましょう。式の値を求める問題でも、代入する前に因数分解するのが圧倒的に速くなるコツです。

例題：49² − 51² = (49 + 51)(49 − 51) = 100 × (−2) = −200。x = 99, y = 1 のとき x² + 2xy + y² = (x + y)² = 100² = 10000。

ステップ 5：ステップ5: これ以上分解できないかを確認する

因数分解は「これ以上分けられない積」になるまで進めて初めて完成です。1回くくっただけで止めてしまう「分解し残し」が応用問題で一番多いミス。答えを書く前に、カッコの中がさらに分解できないかを必ずもう一度見直しましょう。展開して元に戻るかで検算もできます。

例題：3x² − 27 → 3(x² − 9) で止めない。x² − 9 = (x + 3)(x − 3) なので答えは3(x + 3)(x − 3)。

これだけは覚える

応用の黄金ルートは①共通因数 → ②公式 → ③分解し残し確認。同じカタマリはM で置き換え、項が4つなら2項ずつグループ分け。数の計算と式の値は先に因数分解してから計算すると速い。

公式を使う前に共通因数を見落とす、1回くくっただけで分解し残しのまま止める、置き換えたM を元の式に戻し忘れる、の3つが典型ミス。最後に「もう分解できないか？」と一度立ち止まる癖をつけましょう。