y = ax² の変化の割合の解き方／コツ

問題文から「xが p から q まで増加するとき」の p（はじまり） と q（おわり） をはっきり書き出します。区間の指定を読みとばすと、x の増加量を勝手に「1」と決めつける誤りが起きます。負の数が入る場合は符号も忘れずに書きましょう。

まず定義で求めるのが基本です。xの増加量 = q − p、yの増加量 = aq² − ap² を計算し、yの増加量を xの増加量で割ります。増加量は必ず「後の値 − 前の値」の順で引きます。負の p では q − p = q + |p| になることに注意。

y = ax² で x が p から q まで増えるときの変化の割合は a(p + q) です。a と p、q を入れるだけで答えが出るので、計算が速くて安全。導出は yの増加量 = a(q + p)(q − p) を xの増加量 q − p で割ると残るのが a(p + q)、と覚えておくと忘れません。

「変化の割合が分かっていて a を求める」「a と変化の割合から区間を出す」型では、a(p + q) = 変化の割合 という式を立てて解きます。さらに、2点を結ぶ直線の式を聞かれたら、傾き = a(p + q) として y = (傾き)x + b の式を作り、放物線上の2点 (p, ap²) または (q, aq²) のどちらか1点を代入して b（y切片）を求めます。

変化の割合は 放物線上の2点を結ぶ直線の傾き と同じ値です。グラフでイメージし、符号や大きさが直線の見た目と合っているか確認します。物理の落下 y = 5x² などでは、変化の割合がそのまま 平均の速さ になるので単位も意識しましょう。