y = ax² の応用（放物線と直線・動点・落下）の解き方／コツ

まず問題文を読み、求めるのは交点か、面積か、動点の時刻か、落下距離かを確認します。次に放物線・直線・点・軸との交点を書き込み、わかっている数・条件・単位を整理します。グラフの見た目だけで読み取らず、必ず式で確定する準備をします。

放物線 y = ax² と直線 y = mx + n の交点では y が等しいので、ax² = mx + n と立てて二次方程式にします。因数分解または解の公式で x を求め、もとの式に代入して y を出します。交点が2つあるときは、解も2つ出るのが自然です。y = ax² 上の2点 A(p, ap²)・B(q, aq²) を結ぶ直線の傾きは a(p + q) という公式も覚えておくと、検算や式の予測に使えます（例：A(−1, 1)・B(2, 4) なら 1·(−1 + 2) = 1 で、y = x + 2 の傾き 1 と一致）。

放物線と直線でできる三角形の面積は、直線の y 切片（または x 切片）を共通の底辺にして、原点を頂点とする2つの三角形に分けて足すと計算がラクです。直線が点 C(0, n) で y 軸と交わるとき、OC を共通の底辺、A・B の x 座標の絶対値をそれぞれの高さと見れば、面積 = (1/2)·n·|x_A| + (1/2)·n·|x_B| = n × |x_A − x_B| ÷ 2（A と B が y 軸の左右に分かれる場合）で求められます。

動点問題では、x秒後の長さを式で表します。正方形の辺上を毎秒1cmで進むなら AP = x のように書き、三角形の面積を (1/2)×底辺×高さで立式します。辺を渡るタイミングで式が変わるので、xの変域（範囲）も必ず書き、「この変域ではこの式が成り立つ」と限定して答えます。

落下距離は y = 5x²（または y = 4.9x²）のように、x の2乗に比例する式で与えられることが多く、y はメートル、x は秒を表します。文字や単位を確認してから代入し、解が出たら現実の条件に合うものだけ採用します。時間は負にならないので、正の解だけを答えます。