4章関数 y=ax² を解く・整理する5ステップ

各ステップをクリックすると詳しい説明と例が開きます。

ステップ 1：ステップ1: 問題のタイプを見分ける

問題文を読み、値の計算／式の決定／グラフ判定／交点・利用のどれかを判断します。xやyの値が与えられていれば値の計算、通る点が与えられていれば式の決定、グラフの向き・広がりを問われていればグラフ判定、直線や図形と関わるなら交点・利用です。

例題：「y=ax² が (2, 8) を通るとき a を求めよ」は式の決定。「y=x² と y=x+6 の交点」は交点・利用です。

ステップ 2：ステップ2: 値・式の計算は代入を徹底する

値の計算では y=ax² に x の値を代入し、x² を計算してから a を掛けます。式の決定では通る点の座標を代入して a を求めます。x が負でも x² は正になることに注意します。

例題：y=3x² で x=−2 のとき、x²=4 → y=3×4=12。y=ax² が (2, 8) を通る → 8=a×4 → a=2。

ステップ 3：ステップ3: 変域は原点を含むかを確認する

x の変域から y の変域を求めるときは、まず区間に x=0 を含むかを確認します。含む場合、a>0 なら最小は y=0、a<0 なら最大は y=0 です。両端の y を計算し、最大と最小を決めます。

例題：y=x² で −3≦x≦1 → 原点を含むので最小は 0、最大は x=−3 のときの 9。よって 0≦y≦9。

ステップ 4：ステップ4: 変化の割合は公式 a(p+q) を使う

y=ax² で x が p から q に変わるときの変化の割合は a(p+q) で求められます。1次関数と違い一定ではないので注意。逆に変化の割合から a を求める問題も同じ公式で立式します。

例題：y=2x² で x が −1→4 の変化の割合は 2×(−1+4)=6。x が 1→3 の変化の割合が 8 なら、a×(1+3)=8 → a=2。

ステップ 5：ステップ5: 直線との交点は連立して解く

放物線と直線の交点は、2つの式を連立して x² の方程式にまとめ、因数分解で x を求めます。求めた x を代入して y を出し、座標として答えます。図形の面積では、2交点の x の差と y 切片を使って計算します。

例題：y=x² と y=x+6 → x²=x+6 → x²−x−6=0 → (x−3)(x+2)=0 → 交点は (3, 9), (−2, 4)。

これだけは覚える

y=ax² のグラフは原点を頂点とする放物線。a の符号で開く向き、|a| が大きいほど開きは狭い。変化の割合は a(p+q)。放物線と直線の交点は連立で求める。変域は原点を含むかで最大・最小が変わる。

x が負でも x² は正になることを忘れがち。|a| が大きいほど開きは狭い（広いと誤りやすい）。変化の割合を1次関数のように一定だと思い込むのもよくある誤り。変域では原点を含むかの確認を必ず行うこと。