三平方の定理（空間への応用）の解き方／コツ

立体のまま考えず、求める長さがどの平面（面・断面・展開図）にあるかを最初に決めます。底面、側面、立体の中を通る断面など、直角三角形が見えるところを切り取るイメージです。同じ平面にない辺どうしで三平方を使うのは誤りなので、必ず同一平面上で式を立てることを確認します。

縦 a、横 b、高さ c の直方体の対角線 D は、底面の対角線 √(a² + b²) を1段目で出し、その対角線と高さ c で2段目の三平方を使います。結果は公式 D ＝ √(a² + b² + c²)。1辺 a の立方体なら a√3。「2乗の和の平方根」とまとめて覚えます。

円錐は、頂点から底面の中心におろした高さ、中心から円周までの底面半径、頂点から円周までの母線で直角三角形ができます。関係は母線² ＝ 高さ² ＋ 半径²。母線と高さを混同しないよう、図に「斜め＝母線、垂直＝高さ」と書き込みます。

立体の表面をたどる最短距離は、巻物を広げるように展開図にすると直線になります。直方体は展開する方向でいくつかの場合が出るので、すべて計算して一番短いものを答えにします。円錐は側面を開くと扇形になり、その中の直線（弦）の長さが答えです。

正四角錐などで「頂点と底面の頂点を結ぶ斜辺」を求めるときは、底面の対角線の半分と高さで直角三角形を作ります。立体の中心を通る断面を意識すると見つけやすくなります。球の場合も中心からの距離・半径・接線で直角三角形ができ、ℓ² ＝ d² － r² や 断面の半径 ＝ √(r² － d²) のように三平方を使います。