投影図と展開図の違い辞典｜中1数学（数学）

この章の比較ペア（まとめ表）

比べる軸	投影図	展開図
表す方法	見る方向ごとの形を組み合わせて表す	立体の表面を切り開いて平面に広げる
図の枚数	立面図と平面図の2つ（必要なら側面図を加える）	底面と側面を合わせた1枚の図
わかる情報	高さ・幅・奥行きなどの見え方	面のつながりと辺の対応
立体の決まり方	立面図と平面図の2方向で形を決める（複雑な立体は側面図も追加）	切り方しだいで複数の形ができる
立方体の場合	どの方向も同じ大きさの正方形	11種類のパターンがある
円柱の表され方	円（真上）と長方形（正面）	円2つ＋長方形（縦＝高さ、横＝2πr）
使う場面	立体の形を正確に判断したいとき	表面積や面のつながりを調べたいとき

立体は3次元なので紙にそのまま正確に描けません。そこで「見え方をそろえる」方向と「広げて並べる」方向の2つの工夫が生まれました。投影図は立面図と平面図の2方向で形を決める（複雑な立体は側面図も追加）方法、展開図は表面のつながりを平面で表す方法で、目的に合わせて使い分けます。

投影図の平面図だけで立体を決めてしまうミスが多いです。高さは立面図、奥行きは平面図で確かめる必要があり、複雑な立体では側面図も追加します。逆に展開図では「正解は1通り」と思い込みやすいですが、切る辺によって形が変わります。

「次の立体の平面図と立面図を答えよ」「次の展開図を組み立てるとどの立体になるか」のように、投影図→立体または展開図→立体を行き来する問題が定番です。立方体の展開図11種類の判定もよく出ます。

円柱は上下の底面が同じ円で、側面は縦線がまっすぐ並んでいるので、開くと長方形になります。一方、円錐は底面が1つだけで、側面の線（母線）がすべて頂点に集まるため、開くとおうぎ形になります。形のちがいが側面の展開図に表れます。

円錐の側面を長方形と勘違いするミスが多発します。また、円柱の側面長方形の横を「高さ」と混同するのも要注意。横は底面の円周（2πr）で、縦が高さです。

「底面の半径◯cm、高さ◯cmの円柱の側面の縦と横を求めよ」のように、2πrの式と高さを区別させる問題が頻出。円錐ではおうぎ形の弧＝底面の円周という関係を使う問題が出ます。

立体は1方向から見ただけでは形が決まりません。そこで、まず真上から底面の形を、次に真正面から高さを見るというように、役割の違う2方向を組み合わせます。平面図と立面図の役割を分けることで、立体の形がはっきり決まります。

平面図だけで立体を決めてしまうのが代表的な誤りです。円柱と円錐はどちらも平面図が「円」なので、立面図（長方形か三角形か）まで見ないと区別できません。

「次の立体の平面図と立面図の形をそれぞれ答えよ」と2方向セットで聞かれる問題が定番です。円柱と円錐、三角柱と三角錐などのペアで聞かれることが多いです。