展開の応用を解く・整理する5ステップ

各ステップをクリックすると詳しい説明と例が開きます。

ステップ 1：ステップ1: 同じカタマリを探して印をつける

式の中に同じ並びの文字や式が複数回出てきていないか確認する。両方の（　）に共通して見える部分があれば、それが置き換えのチャンス。線で囲んだり下線を引いて、目で見えるようにしておく。

例題：(x + y + 2)(x + y − 2) → x + y が両方に出ているので、ここを M とする。

ステップ 2：ステップ2: カタマリを1文字に置き換えて公式を使う

見つけたカタマリを M（または A） に置き換えると、(M + 2)(M − 2) のように乗法公式の形になる。和と差の積、平方の公式など、当てはまる公式を選んで一気に展開する。

例題：(M + 2)(M − 2) = M² − 4。和と差の積を使った。

ステップ 3：ステップ3: 置き換えた文字を必ず元に戻す

M のままでは答えにならない。M を元の式に戻して、最後まで展開・整理する。戻し忘れは一番よくあるミスなので、置き換えた瞬間に「あとで戻す」とメモしておくと安心。

例題：M² − 4 = (x + y)² − 4 = x² + 2xy + y² − 4。

ステップ 4：ステップ4: 置き換えできない3項どうしは9個の項を書き出す

(x + y + 2)(x − y + 3) のように共通カタマリがないときは、3項×3項＝9個の積をすべて書き出し、同類項をまとめる。(a + b + c)² なら各項の2乗＋各組合せの2倍の公式が便利。

例題：(x + y + 2)² = x² + y² + 4 + 2xy + 4y + 4x。

ステップ 5：ステップ5: 数の計算は基準の数からの差で公式に乗せる

99² や 53 × 47 のような計算は、100 や 50 など基準の数からの差で書き直す。(100 − 1)² や (50 + 3)(50 − 3) の形にすれば、平方の公式や和と差の積で暗算できる。

例題：99² = (100 − 1)² = 10000 − 200 + 1 = 9801。

これだけは覚える

同じカタマリが繰り返すときは M で置き換えて公式の形に。3項×3項は9個の項を書き出して同類項整理。数の工夫は (100 ± a)² や和と差の積で速攻処理できる。

置き換えた M を戻し忘れるのが最多ミス。かっこ前のマイナスは、中を展開したあとに全体へ −1 をかける。(x − 2)² の最後は (−2)² = +4（真ん中だけマイナス）に注意。