1章多項式を解く・整理する5ステップ

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ステップ 1：ステップ1: まず共通因数があるかを確認する

因数分解の問題を見たら、いきなり公式に当てはめず、全ての項に共通する数や文字がないかを最初に探します。共通因数を外に出してから中身を見ると、見慣れた公式の形になることが多く、計算量も減ります。共通因数を残したまま公式を当てると、最後まで分解しきれません。

例題：例：2x² + 10x + 12。まず共通因数2を出して 2(x² + 5x + 6)。中身は積6・和5の2数(2,3)で 2(x+2)(x+3)。

ステップ 2：ステップ2: 公式の形を見抜いて当てはめる

次に、式が4つの乗法公式のどれに当てはまるかを「形」で判断します。(x+a)²、(x-a)²、(x+a)(x-a)、(x+a)(x+b) のどれか。平方の形か、和と差の積か、定数項を見て積と和を考える形か、を一目で見分けられるよう公式を覚えます。

例題：例：x² - 36 は和と差の積の形 → (x+6)(x-6)。x² + 7x + 12 は積12・和7の2数(3,4)で (x+3)(x+4)。

ステップ 3：ステップ3: 展開はすべての積を漏れなく書き出す

展開のときは、どの項同士を掛けるかを最初に確認し、すべての組み合わせを書き出してから同類項をまとめます。項が3つ以上ある式どうしの展開でも、機械的に1項ずつ相手の全項に掛ければ漏れません。符号の処理もこの段階で丁寧に行います。

例題：例：(x+y+2)(x-3) は xを全部に掛けて x²+xy+2x、-3を全部に掛けて -3x-3y-6。まとめて x²+xy-x-3y-6。

ステップ 4：ステップ4: 同じカタマリは置き換えて整理する

同じ式のかたまりが2回以上出てくるときは、そこをM などの文字に置き換えるとシンプルな多項式になります。置き換えで公式を使い、最後にもとの式を戻すと、見た目が複雑な応用問題もパターン化できます。

例題：例：(x-1)² + 4(x-1) + 4 は x-1=M とおくと M²+4M+4=(M+2)²。Mを戻して (x+1)²。

ステップ 5：ステップ5: 展開して元に戻るかで検算する

因数分解の答えが出たら、必ず展開して元の式に戻るかを確認します。(x+3)(x-3) ならx²-9 に戻るか、2(x+2)(x+3) なら2x²+10x+12に戻るかを暗算でチェック。さらに「これ以上分解できないか」も最後に見直します。

例題：例：x³-9x を x(x²-9) で止めずに、x²-9=(x+3)(x-3) と続けて x(x+3)(x-3) まで分解しきる。

これだけは覚える

展開＝かっこを外す、因数分解＝かっこの積に戻す。順番は「①共通因数 → ②公式の形 → ③検算（展開で元に戻る）」。乗法公式は (x±a)²、(x+a)(x-a)、(x+a)(x+b) の4つを形で見抜くのがコツです。

(a+b)² を a²+b² としてしまい真ん中の2ab を忘れる。(x-a)² の中央の符号を＋にしてしまう。共通因数を最後までくくり切らない（例：x³-9x を x(x²-9) で止めて、x²-9=(x+3)(x-3) まで分解しない）。和と差の積を平方公式と混同する。