- 展開問題は、まず すべての積を書き出してから同類項をまとめる。
- 因数分解問題は、最初に 共通因数がないかを確認し、最後に 展開して元に戻るかで検算する。
展開・因数分解の見分け方
- 展開は「かっこを外して多項式にする」、因数分解は「かっこの積に戻す」操作。
- 因数分解では、最初に共通因数を探す。公式を使うのはそのあと。
- x²+bx+c 型は、積がc、和がbになる2数を探す。
- 置き換えができる式は、同じまとまりが2回以上出ていないかを見る。
まず共通因数2を出して 2(x²+5x+6)。中は積6、和5なので (x+2)(x+3)。
答えは 2(x+2)(x+3)。
この章でつまずきやすいところ
1章の51問は展開と因数分解が交互に出るので、目の前の式が「ばらす方向」なのか「まとめる方向」なのかで頭が混乱しがちです。ここでは問題を解いている途中に多くの中学生が迷う4つの場面を、見分け方と短い具体例で整理します。
(x+a)²を見て中央の2axを忘れてしまう
- つまずく場面：B群の (x+6)² や (x−3)² を見て、頭の中で x²+6² や x²−9 と書きそうになる場面。平方の意味を「それぞれ2乗するだけ」と勘違いし、真ん中の項が抜けてしまうつまずきです。
- 克服のコツ：見分け方は「同じものを2回かける=3項できる」と覚えること。(x+a)² は (x+a)(x+a) と書き直し、分配法則で4つの項を作ると、中央に同じ ax が2つ並ぶので合わせて 2ax になります。符号は (x−a)² なら−2axと、aの符号にそろえて書く。なお (5x−4)² のように x の係数が1でないときは、中央項は 2·5·4=40 のように係数の積も2倍になることに注意。
- ミニ例：(x+6)² を (x+6)(x+6) と並べ直すと x²+6x+6x+36。真ん中の6xが2つあるので合わせてx²+12x+36。
因数分解で共通因数を見つけずに公式から探してしまう
- つまずく場面：E群の 3x²−27 や 2x²+16x+32 を見て、いきなり「これは何の公式形だろう」と探し始める場面。係数に共通の数字があるのに、公式の形に当てはめようとして手が止まるつまずきです。
- 克服のコツ：因数分解では「まず共通因数 → 次に公式」の手順を固定します。係数の最大公約数と、すべての項に現れる文字を最初に外に出すこと。共通因数を抜いた中身が x²−○ や x²+bx+c の形になって初めて、公式の出番が来ます。
- ミニ例：3x²−27 はまず3を外に出して 3(x²−9)。中の x²−9 は x²−3² と書ける2乗の差の形なので、和と差の積を使って 3(x+3)(x−3)。
和と差の積と平方公式の形（項数）を取り違える
- つまずく場面：B群で (x+5)(x−5) と (x+5)² が並んでいる場面。(x+5)(x−5) を見て真ん中に項を足して x²+10x+25 と書いたり、(x+5)² を見て2項のまま x²−25 と書いてしまったりするつまずきです。
- 克服のコツ：位置関係で見分けます。かっこが2つ並んで符号が逆なら和と差の積で答えは2項( x²−a² )。同じかっこを2乗なら平方公式で答えは3項( x²±2ax+a² )。「かっこの数」と「中の符号がそろっているか」を最初に確認するのがコツです。
- ミニ例：(x+5)(x−5) は符号が逆 → x²−25。(x−5)² は同じかっこの2乗 → x²−10x+25。
x²+bx+c型で和と積を取り違える
- つまずく場面：D群の x²+7x+12 や x²−5x−24 を見て、「12になる2数は…3と4」と思いついた瞬間、和が合っているか確かめずに書いてしまう場面。とくに −5x−24 のように符号が混ざると、どちらの数を負にするか迷うつまずきです。
- 克服のコツ：手順で整えます。定数項cが正なら2数は同符号、負なら異符号。同符号のときは1次の係数bの符号がそのまま2数の符号。異符号のときは絶対値の大きい方の符号がbと一致します。
- ミニ例：x²−5x−24 は積−24で異符号、和−5なので大きい方が負。−8と+3で (x−8)(x+3)。
- (x + 2)(x + 5)
- (x + 3)(x − 7)
- (x − 4)(x − 6)
- (2x + 1)(x − 3)
- (3a − 2)(a + 4)
- (x + y)(x + 3)
- (a + b)(a + b + 1)
- (x + y + 2)(x − 3)
- (2x − y)(x + 3y)
- (x + 1)(x − 1)(x² + 1)
- (6a²b − 9ab) ÷ 3ab
答えを見る
(1) x² + 7x + 10
(2) x² − 4x − 21
(3) x² − 10x + 24
(4) 2x² − 5x − 3
(5) 3a² + 10a − 8
(6) x² + 3x + xy + 3y
(7) a² + 2ab + b² + a + b
(8) x² − 3x + xy − 3y + 2x − 6 = x² + xy − x − 3y − 6
(9) 2x² + 6xy − xy − 3y² = 2x² + 5xy − 3y²
(10) (x²−1)(x²+1) = x⁴ − 1
(11) 6a²b÷3ab − 9ab÷3ab = 2a − 3
- (x + 6)²
- (x − 9)²
- (2x + 3)²
- (x + 5)(x − 5)
- (3a + 2b)(3a − 2b)
- (x + 3)(x + 8)
- (x − 4)(x + 9)
- (x − 6)(x − 2)
- (5x − 4)²
- (7 + x)(7 − x)
答えを見る
(1) x² + 12x + 36
(2) x² − 18x + 81
(3) 4x² + 12x + 9
(4) x² − 25
(5) 9a² − 4b²
(6) x² + 11x + 24
(7) x² + 5x − 36
(8) x² − 8x + 12
(9) 25x² − 40x + 16
(10) 49 − x²
- 4x + 12
- 3a² − 6a
- 6xy + 9x
- 2a²b − 6ab²
- 5x²y + 10xy − 15xy²
- −4x² + 8x
- a(x − 1) + 3(x − 1)
- (x − 2)·5 − (x − 2)·x
- 4x³ − 8x² + 12x
- 15a²b + 10ab² − 5ab
答えを見る
(1) 4(x + 3)
(2) 3a(a − 2)
(3) 3x(2y + 3)
(4) 2ab(a − 3b)
(5) 5xy(x + 2 − 3y)
(6) −4x(x − 2)
(7) (x − 1)(a + 3)
(8) (x − 2)(5 − x)
(9) 4x(x² − 2x + 3)
(10) 5ab(3a + 2b − 1)
- x² + 10x + 25
- x² − 14x + 49
- x² − 36
- 9x² − 25
- x² + 7x + 12
- x² − 9x + 14
- x² + 2x − 15
- x² − 5x − 24
- x² + 11x + 30
- 4a² + 12a + 9
答えを見る
(1) (x + 5)²
(2) (x − 7)²
(3) (x + 6)(x − 6)
(4) (3x + 5)(3x − 5)
(5) (x + 3)(x + 4)
(6) (x − 2)(x − 7)
(7) (x + 5)(x − 3)
(8) (x − 8)(x + 3)
(9) (x + 5)(x + 6)
(10) (2a + 3)²
- 3x² − 27
- 2x² + 16x + 32
- x³ − 9x
- (x + 2)² − 9
- (x − 1)² + 4(x − 1) + 4
- x² + xy + 2x + 2y
- 51² − 49²（因数分解で計算）
- x = 23, y = 13 のとき x² − 2xy + y² の値
- x = 99 のとき x² + 2x + 1 の値
- x⁴ − 1 を因数分解
答えを見る
(1) 3(x² − 9) = 3(x + 3)(x − 3)
(2) 2(x² + 8x + 16) = 2(x + 4)²
(3) x(x² − 9) = x(x + 3)(x − 3)
(4) (x + 2 + 3)(x + 2 − 3) = (x + 5)(x − 1)
(5) (x − 1 + 2)² = (x + 1)²
(6) x(x + y) + 2(x + y) = (x + y)(x + 2)
(7) (51 + 49)(51 − 49) = 100·2 = 200
(8) (x − y)² = (23 − 13)² = 10² = 100
(9) (x + 1)² = 100² = 10000
(10) (x² + 1)(x² − 1) = (x² + 1)(x + 1)(x − 1)
テスト前のチェックリスト
- □ 多項式 × 多項式 = すべての組み合わせを取る
- □ (x+a)² = x² + 2ax + a²
- □ (x−a)² = x² − 2ax + a²
- □ (x+a)(x−a) = x² − a²
- □ (x+a)(x+b) = x² + (a+b)x + ab
- □ 共通因数：すべての項に共通する因数を外に出す
- □ 公式の逆向き：因数分解は公式の 逆方向
- □ 置き換え：同じカタマリは M で置き換え
- 符号：(x − a)² の真ん中の項は −2ax（マイナス）
- 係数2の符号：(x+2)(x+3) の和 5、(x−2)(x−3) の和 −5、(x+2)(x−3) の和 −1
- 共通因数を見落とさない：3x² + 6x = 3x(x+2)（3 と x が共通）
- 因数分解は止まったらやめない：(x²−9) = (x+3)(x−3) のように更に分解できる場合