平方根の加減と有理化のテスト頻出パターン｜中3数学（数学）

平方根の加減と有理化のテスト頻出 5 パターン

定期テスト・入試で実際によく出る型を、答え方のコツとセットで整理しました。

パターン1：同類根号の加減を問う

📝 典型的な出題例：次の計算をしなさい。3√2 + 5√2、7√5 − 4√5、また √2 + √3 はこれ以上まとめられるか答えなさい。

✅ 答え方のコツ：√の中が同じ項どうしだけが足し引きできる。文字式の同類項と同じで、係数だけを足し引きする。ステップ：(1)√の中身が同じか確認 (2)係数を計算 (3)中身が違うときはそのまま残す。

🔑 押さえる用語：同類根号, 同類項, 係数

⚠️ ありがちなミス：√2+√3を√5にしてしまう誤り。中身の足し算ではないので、見た目が違う√は別の文字として扱う。

パターン2：簡単化してから加減する型

📝 典型的な出題例：次を計算しなさい。√8 + √18、√27 + √12 − √48、√75 + √48 − √27。

✅ 答え方のコツ：見た目が違っても簡単化すると同じ√bになることが多い。ステップ：(1)各√の中身を素因数分解 (2)平方数を外に出して a√b の形に (3)同類根号にそろえてから係数を加減する。

🔑 押さえる用語：簡単化, 平方数, 素因数分解

⚠️ ありがちなミス：√8をそのままにして「足せない」と判断するミス。先に2√2へ直す習慣がないと同類根号に気づけない。

パターン3：分母の有理化を問う

📝 典型的な出題例：次の分母を有理化しなさい。1/√5、2/√3、5/(3√2)。

✅ 答え方のコツ：分母分子に分母と同じ√をかけるのが基本。ステップ：(1)分母の√を確認 (2)分母分子に同じ√をかける (3)(√b)²=b を使って分母を整数化 (4)約分できれば最後に整理する。

🔑 押さえる用語：有理化, 分母, (√b)²=b

⚠️ ありがちなミス：分母に√が残ったまま答えを書いてしまうミス。中学では分母の√は「未完成」とされ減点対象になる。

パターン4：簡単化と有理化を組み合わせる型

📝 典型的な出題例：次の分母を有理化しなさい。4/√8、6/√12。また 1/√8 を最終形まで直しなさい。

✅ 答え方のコツ：先に分母の√を簡単化してから有理化すると計算がラク。ステップ：(1)分母の√を a√b の形に直す (2)分母分子に√bをかけて有理化 (3)係数を約分 (4)中身に平方数なし・分母に√なしの最終形にする。

🔑 押さえる用語：最終形, 簡単化→有理化, 約分

⚠️ ありがちなミス：√8のまま√8を掛けて回り道し、最後に約分し忘れるミス。先に2√2に直すと数が小さく済む。

パターン5：加減と有理化が混ざる総合計算

📝 典型的な出題例：次を計算しなさい。√2 + 1/√2、√12 − 3/√3。

✅ 答え方のコツ：有理化→簡単化→通分→加減の順で処理する。ステップ：(1)分母に√があれば有理化 (2)残りの√も簡単化 (3)同類根号にそろえる (4)通分して係数を足し引きする。

🔑 押さえる用語：通分, 有理化, 同類根号

⚠️ ありがちなミス：1/√2を有理化しないまま√2と足そうとして詰まるミス。先に√2/2に直してから通分するのが定石。

テスト直前は「簡単化 → 有理化 → 同類根号で加減」の順番を声に出して確認。答えは必ず中身に平方数なし・分母に√なしの最終形まで仕上げる。√2+√3=√5の罠にだけは絶対ハマらないこと。