2章平方根を解く・整理する5ステップ

各ステップをクリックすると詳しい説明と例が開きます。

ステップ 1：ステップ1: 問題のタイプを見分ける

まず問題文の言い方を確認します。「aの平方根」は±√aで2つ、「√a」は正の平方根だけです。次に「簡単化」「有理化」「加減」「乗除」「乗法公式」「式の値」のどのパターンかを判定します。タイプによって最初の一手が変わるので、ここで決めることが大事です。

例題：「16の平方根」→ ±4（2つ）。「√16」→ 4（正の方だけ）。問われ方が違うと答えも変わります。

ステップ 2：ステップ2: 根号の中を簡単にする（a√bの形にする）

計算の前に √の中を素因数分解 し、平方数（4・9・16・25…）を外へ出して a√b の形にそろえます。これで同類項のように 同じ√どうし がまとめられるようになります。√a＋√b ≠ √(a＋b) なので、足し算で中をたしてはいけません。

例題：√50 ＝ √(25×2) ＝ 5√2、√72 ＝ √(36×2) ＝ 6√2。√98 − √50 ＝ 7√2 − 5√2 ＝ 2√2。

ステップ 3：ステップ3: 乗除を先に、加減はそのあとで

√a × √b ＝ √(ab)、√a ÷ √b ＝ √(a/b) を使って、まず乗除を片づけます。係数どうし・根号どうしを分けて計算するのがコツです。そのあとで簡単化し、最後に 同じ√をもつ項だけ を加減でまとめます。

例題：2√3 × 4√5 ＝ (2×4)√(3×5) ＝ 8√15。√50 ÷ √2 ＝ √(50/2) ＝ √25 ＝ 5。

ステップ 4：ステップ4: 分母に√が残ったら有理化する

答えは 分母に√が残らない形 にします。分母が単項なら同じ√を上下に掛け、a＋√b 型は共役 a−√b、√a＋√b 型は √a−√b を上下に掛けます。掛けたあとに約分も忘れずに確認しましょう。

例題：1/√7 ＝ √7/7。1/(√2＋1) ＝ (√2−1)/((√2＋1)(√2−1)) ＝ (√2−1)/1 ＝ √2−1。

ステップ 5：ステップ5: 乗法公式と式の値は『形』に変形してから代入する

(a＋b)²、(a−b)²、(a＋b)(a−b) を平方根に応用します。式の値の問題は、xをそのまま代入せず (x−1)² などの形に変形してから代入 すると速くてミスが減ります。対称式は x＋y と xy で表すのが定石（x²＋y² ＝ (x＋y)²−2xy）。

例題：x ＝ √2＋1 のとき x²−2x ＝ (x−1)²−1 ＝ (√2)²−1 ＝ 2−1 ＝ 1。

これだけは覚える

√の中はまず簡単化（a√bの形）、同じ√だけ加減、分母に√が残ったら有理化、式の値は変形してから代入。この4つを順に確認すれば、章末40問の大半は同じ流れで解けます。

√a＋√b を √(a＋b) としてしまう誤り、「平方根」と「√a」の区別忘れ（±か正だけか）、有理化のし忘れ、√(a²) を a としてしまう（正しくは |a|）に注意。√12 を 6 にするなど中身を半分にする誤りも頻出です。